Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 250 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 60 mm en lengte 3 m; deel BC heeft diameter 30 mm en lengte 1 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 750 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 10 kW overbrengen bij 3000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 10 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 5 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 45 kN op 5 mw = 8 kN/m van 0 tot 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

25 kN @ 0 m55 kN @ 6 m30 kN @ 2 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 150 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 96 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 170 mm breed en 12 mm dik, een totale hoogte van 280 mm en een lijf van 12 mm dik. Het draagt een buigend moment van 20 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 170 mmH = 280 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mmM = 20 kN·m

σ_j = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,04547 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

Verkorting

δ = 100000·500/1,1 × 10⁹ = 0,04547 mm

Antwoord

δ = 0,04547 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 282,7 kN

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·5027 = 5,655 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (messing)

Grootste belasting

P_max = 0,0005·5,655 × 10⁸ = 282743 N = 282,7 kN

Antwoord

P_max = 282,7 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 24,68 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·3000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,06801 rad

φ_BC = 750000·1000/(26000·79522) = 0,3627 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,06801 + 0,3627 = 0,4308 rad = 24,68°

Antwoord

φ_C = 24,68°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 13,93 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·60)) = 13,93 mm

Antwoord

d = 13,93 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −171 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −45·3 = −135 kN·m

w: −8·3²/2 = −36 kN·m

M_x = −135 − 36 = −171 kN·m

Antwoord

M_x = −171 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 5 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 56 kN, R₂ = 86 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = 2, M_D = −9, M_E = −28, M_F = −55 kN·m, M_G = 0

Antwoord

Markering F: M_F = −55 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·120 − 1257·96)/(36000 − 1257) = 120,9 mm

Volle plaat om ȳ

150·240³/12 + 36000·−0,8681² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−24,87² = 0,9028 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 28,42 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 280 − 2·12 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·280³ − 158·256³)/12

I_x = 9,009 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

y = 140 − 12 = 128 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·128/9,009 × 10⁷ = 28,42 MPa

Antwoord

σ_j = 28,42 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 4,731 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 30/30,41 = 0,9864, sin 2θ_s = −(−5)/30,41 = 0,1644

2θ_s = atan2(5, 30) = 9,462°

Hoek op het element

θ_s = 4,731°

controle: θ_s − θ_p = 4,731 − 49,73 = −45°

Antwoord

θ_s = 4,731°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 48,69 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−30·0,766 + 40·0,6428 = 48,69 MPa

Antwoord

τ_θ = 48,69 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,04329 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,04329 rad

Antwoord

θ_A = 0,04329 rad

Dat is 2,48°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·70000·11,11) = 1,714 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 83,93 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1750² = 83925 N = 83,93 kN

Antwoord

P_cr = 83,93 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 25,18 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12,5 = 280

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Antwoord

σ_cr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials