Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 20 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 50 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 20 mm getordeerd door een wringend moment van 75 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 400 mm verdraaien 1,37° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 75 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1,37°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 75 kW over bij 500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,5° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

55 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

30 kN @ 6 m45 kN @ 4 m5 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 150 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 20 mm draagt een axiale trekkracht van 50 kN samen met een wringend moment van 400 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 20 mmF = 50 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 2 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 8 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (staal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 130 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 130 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,21 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/113,1 = 176,8 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 176,8/200000 = 0,0008842 = 884,2 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0008842·2500 mm = 2,21 mm

Antwoord

δ = 2,21 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 310,5 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0006667) = 0,0006667 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0006667·4,657 × 10⁸ = 310494 N = 310,5 kN

Antwoord

P_max = 310,5 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 79,87 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,37·π/180 = 0,02391 rad

Glijdingsmodulus

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(15708·0,02391) = 79874 MPa

G = 79,87 GPa

Antwoord

G = 79,87 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 67,61 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Diameter op sterkte

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·1,432 × 10⁶/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 67,61 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(45,99, 67,61) = 67,61 mm

Antwoord

d = 67,61 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 66,67 kN, R₂ = 48,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 61,67, M_C = 113,3 kN·m, M_D = 100, M_E = 76,67, M_F = 43,33, M_G = 0

Antwoord

Markering C: M_C = 113,3 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 5 m)

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 15,5 kN, R₂ = 84,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 13, M_C = 21, M_D = 24, M_E = 22, M_F = −30 kN·m, M_G = 0

Antwoord

Markering F: M_F = −30 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 6,628 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

lijf: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·135 + 960·60)/9360 = 127,3 mm

Stelling van Steiner

flens: 280·30³/12 + 8400·(135 − 127,3)² = 1,127 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·120³/12 + 960·(60 − 127,3)² = 5,501 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,127 × 10⁶ + 5,501 × 10⁶ = 6,628 × 10⁶ mm⁴ = 6,628 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 6,628 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 151,2 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

lijf: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·115 + 1600·50)/5200 = 95 mm

Stelling van Steiner

flens: 120·30³/12 + 3600·(115 − 95)² = 1,71 × 10⁶ mm⁴

lijf: 16·100³/12 + 1600·(50 − 95)² = 4,573 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,71 × 10⁶ + 4,573 × 10⁶ = 6,283 × 10⁶ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 95 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·95/6,283 × 10⁶ = 151,2 MPa

Antwoord

σ_onder = 151,2 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 7,973 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 150 − −60) = 15,95°

Hoek op het element

θ_p = 7,973°

Antwoord

θ_p = 7,973°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 346,4 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = 50000/(π·20²/4) = 50000/314,2 = 159,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 79,58 MPa

R = √(79,58² + 254,6²) = 266,8 MPa

σ₁ = C + R = 346,4 MPa

σ₂ = C − R = −187,2 MPa

Antwoord

σ₁ = 346,4 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 11,56 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,889 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002167 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,56 mm

Antwoord

δ_B = 11,56 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 1,135 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·3000³/(48·1,14 × 10¹³) = 0,3947 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 0,7401 mm

Tel ze op

δ_max = 0,3947 + 0,7401 = 1,135 mm

Antwoord

δ_max = 1,135 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 32,64 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4200² = 32638 N = 32,64 kN

Antwoord

P_cr = 32,64 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 58,65 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 58,65 mm

Antwoord

d = 58,65 mm

Controle: de slankheid KL/r is 143,2, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials