Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 200 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 100 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 1,5 m draagt een wringend moment van 250 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 250 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing brengt 20 kW over bij 500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 1° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 3 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 65 kN op 3 mw = 4 kN/m van 0 tot 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 55 kN op 3 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een hol rechthoekig profiel (koker) heeft buitenbreedte B = 220 mm, buitenhoogte H = 400 mm en een gelijkmatige wanddikte t = 18 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

B = 220 mmH = 400 mmt = 18 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 50 MPa op trek en 100 MPa op druk. Vind het grootste doorbuigende (sagging) moment M_allow dat de balk kan dragen.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −40 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 50 mm draagt een buigend moment van 300 N·m samen met een wringend moment van 750 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 50 mmM = 300 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 13 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 74,8 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/6,685 × 10⁻⁶ = 74800 N = 74,8 kN

Antwoord

P = 74,8 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 274,6 kN

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·4006 = 3,432 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,001429) = 0,0008 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0008·3,432 × 10⁸ = 274575 N = 274,6 kN

Antwoord

P_max = 274,6 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 48,67 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·1500/(39000·0,01745) = 550921 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 48,67 mm

Antwoord

d = 48,67 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 48,9 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Diameter op sterkte

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·40)) = 36,5 mm

Diameter op stijfheid

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 48,9 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(36,5, 48,9) = 48,9 mm

Antwoord

d = 48,9 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −73 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −65·1 = −65 kN·m

w: −4·2²/2 = −8 kN·m

M_x = −65 − 8 = −73 kN·m

Antwoord

M_x = −73 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 54,75 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3 + 2·5·2,5

R_B = 190/5 = 38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 38 = 27 kN

Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 27·3,5 − 55·(3,5 − 3) − 2·3,5·1,75 = 54,75 kN·m

Antwoord

M_x = 54,75 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 143,6 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

b = 184 mm, h = 364 mm

A = BH − bh = 220·400 − 184·364 = 21024 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,338 × 10⁸ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(4,338 × 10⁸/21024) = 143,6 mm

Antwoord

r = 143,6 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 16,48 kN·m

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt

ȳ = (3600·250 + 4800·120)/8400 = 175,7 mm

bovenrand: c = 260 − 175,7 = 84,29 mm

Traagheidsmoment

I = 180·20³/12 + 3600·74,29² + 20·240³/12 + 4800·55,71² = 5,793 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Doorbuigend: de bovenkant staat op druk, de onderkant op trek.

bovenrand: M = 100·5,793 × 10⁷/84,29 = 68,73 kN·m

onderrand: M = 50·5,793 × 10⁷/175,7 = 16,48 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 16,48 kN·m (onderrand)

Antwoord

M_allow = 16,48 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 67,5 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −40 − 80) = 135°

Hoek op het element

θ_p = 67,5°

Antwoord

θ_p = 67,5°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 45,13 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·50³) = 24,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 12,22 MPa

R = √(12,22² + 30,56²) = 32,91 MPa

σ₁ = C + R = 45,13 MPa

σ₂ = C − R = −20,69 MPa

Antwoord

σ₁ = 45,13 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 6,313 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 6,313 mm

Antwoord

δ_max = 6,313 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 3,934 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·3000³/(48·5,88 × 10¹²) = 1,244 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 2,691 mm

Tel ze op

δ_max = 1,244 + 2,691 = 3,934 mm

Antwoord

δ_max = 3,934 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,052 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Antwoord

P_cr = 3,052 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 2,763 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/20 = 500

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Antwoord

σ_cr = 2,763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials