Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 80 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 80 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 2,5 m draagt een wringend moment van 500 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 500 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 30 kW over bij 1500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_x onder de last P₁. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP₁ = 70 kN op 1 mP₂ = 55 kN op 8 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 0 m45 kN @ 12 m25 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 100 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 156 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 40 MPa op trek en 90 MPa op druk. Vind het grootste opbuigende (hogging) moment M_allow dat de balk kan dragen (geef de grootte).

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 120 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 3,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 12 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 1 m vanaf oplegging B. Vind de maximale doorbuiging δ_max van de balk.

P = 2 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 80 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 80 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,09249 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·8482 = 6,919 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 80000·800/6,919 × 10⁸ = 0,09249 mm

Antwoord

δ = 0,09249 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 724,3 kN

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·8482 = 9,959 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0007273) = 0,0007273 (brons)

Grootste belasting

P_max = 0,0007273·9,959 × 10⁸ = 724280 N = 724,3 kN

Antwoord

P_max = 724,3 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 72,78 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(26000·0,01745) = 2,755 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 72,78 mm

Antwoord

d = 72,78 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 16,21 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·20/235619 = 16,21 MPa

Antwoord

τ_max = 16,21 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 40 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·1 + 55·8

R_B = 510/6 = 85 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 85 = 40 kN

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over

M_x = R_A·1 = 40·1 = 40 kN·m

Antwoord

M_x = 40 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 31,67 kN, R₂ = 78,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −96,67, M_D = −113,3, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −180 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 113,4 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·120 − 1257·156)/(24000 − 1257) = 118 mm

Volle plaat om ȳ

100·240³/12 + 24000·1,989² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·37,99² = 1,939 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 113,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 113,4 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 9,714 kN·m

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt

ȳ = (3000·175 + 1920·80)/4920 = 137,9 mm

bovenrand: c = 190 − 137,9 = 52,07 mm

Traagheidsmoment

I = 100·30³/12 + 3000·37,07² + 12·160³/12 + 1920·57,93² = 1,489 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Opbuigend: de bovenkant staat op trek, de onderkant op druk.

bovenrand: M = 40·1,489 × 10⁷/52,07 = 11,44 kN·m

onderrand: M = 90·1,489 × 10⁷/137,9 = 9,714 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 9,714 kN·m (onderrand)

Antwoord

M_allow = 9,714 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −36,65 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 120 − 90) = −73,3°

Hoek op het element

θ_p = −36,65°

Antwoord

θ_p = −36,65°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 50,69 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−55·0,9848 + −20·0,1736 = 50,69 MPa

Antwoord

τ_θ = 50,69 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 31,72 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, a = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 15,31 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006562 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 31,72 mm

Antwoord

δ_B = 31,72 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 3,265 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 2000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Plaats van het maximum

De hoekverdraaiing in het langere deel gelijk aan nul stellen geeft de plaats.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Maximale doorbuiging

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,265 mm

Antwoord

δ_max = 3,265 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 14,62 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/6000² = 14622 N = 14,62 kN

Antwoord

P_cr = 14,62 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 63,17 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,17 mm

Antwoord

d = 63,17 mm

Controle: de slankheid KL/r is 94,98, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Sterkteleer: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Torsie van assen

Methode

Dwarskracht en buigend moment

Methode

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Methode

Doorbuiging van de balk

Knik van kolommen

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Oppervlakken

Gecombineerde axiale stijfheid

Verkorting

Antwoord

Oppervlakken

Gecombineerde axiale stijfheid

Bepalende rek

Grootste belasting

Antwoord

Benodigd polair traagheidsmoment

Diameter

Antwoord

Koppel

Polair traagheidsmoment

Maximale schuifspanning

Antwoord

Oplegreacties

Snede onder P1, houd het linkerdeel over

Antwoord

Oplegreacties

Buigend moment bij elke markering

Antwoord

Zwaartepunt

Volle plaat om ȳ

Gat om ȳ

Trek af

Antwoord

Zwaartepunt

Traagheidsmoment

Toelaatbaar moment per rand

Maatgevende waarde

Antwoord

Hoek op de cirkel

Hoek op het element

Antwoord

Transformatieformule

Antwoord

Consistente eenheden

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Antwoord

Consistente eenheden

Plaats van het maximum

Maximale doorbuiging

Antwoord

Kleinste traagheidsmoment

Kniklengte

Kritieke belasting

Antwoord

Benodigde kritieke belasting

Los op naar de diameter

Antwoord

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over