Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 400 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 10 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 1000 N·m werkt in B, op 1,2 m van A, en een wringend moment van 200 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 0,8 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,2 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

25 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 6 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 50 kN op 2 mw = 4 kN/m van 0 tot 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mmM = 25 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 50 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 70 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 350 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = 110 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,04738 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 100000·400/8,443 × 10⁸ = 0,04738 mm

Antwoord

δ = 0,04738 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 31,83 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 31,83 MPa

Antwoord

σ_max = 31,83 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,868 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(80000·38350) = 0,03259 rad

φ = 0,03259·180/π = 1,868°

Antwoord

φ = 1,868°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 32,59 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 1000 = −800 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 800 N·m

τ_max = 16·800000/(π·50³) = 32,59 MPa

Antwoord

τ_max = 32,59 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 3 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 24,5 kN, R₂ = 24,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = 41, M_D = 55,5 kN·m, M_E = 41, M_F = 22,5, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 55,5 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 49 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 4·8·4

R_B = 228/8 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 28,5 = 53,5 kN

Snijd bij x = 6 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 53,5·6 − 50·(6 − 2) − 4·6·3 = 49 kN·m

Antwoord

M_x = 49 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 36,26 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

lijf: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·232,5 + 3520·110)/6020 = 160,9 mm

Stelling van Steiner

flens: 100·25³/12 + 2500·(232,5 − 160,9)² = 1,296 × 10⁷ mm⁴

lijf: 16·220³/12 + 3520·(110 − 160,9)² = 2,331 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,296 × 10⁷ + 2,331 × 10⁷ = 3,626 × 10⁷ mm⁴ = 36,26 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 36,26 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 42,15 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

lijf: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·172,5 + 3200·80)/9700 = 142 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·25³/12 + 6500·(172,5 − 142)² = 6,391 × 10⁶ mm⁴

lijf: 20·160³/12 + 3200·(80 − 142)² = 1,912 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,391 × 10⁶ + 1,912 × 10⁷ = 2,551 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 185 − 142 = 43,02 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·43,02/2,551 × 10⁷ = 42,15 MPa

Antwoord

σ_boven = 42,15 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 60 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 70 MPa, R = √(0² + 50²) = 50 MPa

σ₁ = 120 MPa, σ₂ = 20 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 120, 20)/2 = 60 MPa

Antwoord

τ_abs = 60 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 1,941

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 35 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 125,1 MPa, σ₂ = −55,14 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 180,3 MPa

n = 350/180,3 = 1,941

Antwoord

n = 1,941

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 12,33 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 12,33 mm

Antwoord

δ_max = 12,33 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 134,6 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·11,67) = 1,523 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·1,523 × 10⁷/75)^1/3 = 134,6 mm

Antwoord

h_req = 134,6 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,888 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Antwoord

P_cr = 5,888 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 6,294 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/6,25 = 560

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

Antwoord

σ_cr = 6,294 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials