Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,4 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 25 kNdeel 1: Ø30 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van staal is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 40 mm en lengte 1,2 m; deel BC heeft diameter 30 mm en lengte 0,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 500 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 500 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 15 kW overbrengen bij 500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 75 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 4 mP₁ = 70 kN op 1 mP₂ = 60 kN op 2,5 m

M_max = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

20 kN @ 0 m35 kN @ 12 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 200 mm breed en 12 mm dik, een totale hoogte van 360 mm en een lijf van 8 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 200 mmH = 360 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 170 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 340 mm en een lijf van 6 mm dik. Het draagt een buigend moment van 40 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 170 mmH = 340 mmt_f = 20 mmt_w = 6 mmM = 40 kN·m

σ_j = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (staal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 45 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 45 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 40,29 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,4/9,928 × 10⁻⁶ = 40289 N = 40,29 kN

Antwoord

P = 40,29 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,549 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 35,37 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 35,37·500/117000 = 0,1511 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 79,58·1000/200000 = 0,3979 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,549 mm

Antwoord

δ = 0,549 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 3,961 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·1200/(80000·251327) = 0,02984 rad

φ_BC = 500000·500/(80000·79522) = 0,0393 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,02984 + 0,0393 = 0,06914 rad = 3,961°

Antwoord

φ_C = 3,961°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 26,89 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·75)) = 26,89 mm

Antwoord

d = 26,89 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 82,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 70·1 + 60·2,5

R_B = 220/4 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 55 = 75 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·1 = 75·1 = 75 kN·m

onder P₂: M = R_B·1,5 = 55·1,5 = 82,5 kN·m

Grootste waarde

M_max = 82,5 kN·m (onder P₂)

Antwoord

M_max = 82,5 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 21,33 kN, R₂ = 69,67 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −49,33, M_D = −82,67, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −140 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 170,7 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 360 − 2·12 = 336 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·360³ − 192·336³)/12

I_x = 1,707 × 10⁸ mm⁴ = 170,7 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 170,7 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 31,95 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 340 − 2·20 = 300 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·340³ − 164·300³)/12

I_x = 1,878 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 170 − 20 = 150 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·150/1,878 × 10⁸ = 31,95 MPa

Antwoord

σ_j = 31,95 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 70,67 °

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −50/64,03 = −0,7809, sin 2θ_s = −(−40)/64,03 = 0,6247

2θ_s = atan2(40, −50) = 141,3°

Hoek op het element

θ_s = 70,67°

controle: θ_s − θ_p = 70,67 − (−64,33) = 135°

Antwoord

θ_s = 70,67°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 110 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 85 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = 125,3 MPa, σ₂ = 44,69 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(125,3² − 125,3·44,69 + 44,69²) = 110 MPa

Antwoord

σ_vM = 110 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 13,56 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 13,56 mm

Antwoord

δ_max = 13,56 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 210,4 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·12,5) = 5,825 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·5,825 × 10⁷/75)^1/3 = 210,4 mm

Antwoord

h_req = 210,4 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 17,19 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1750² = 17188 N = 17,19 kN

Antwoord

P_cr = 17,19 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 92,84 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,84 mm

Antwoord

d = 92,84 mm

Controle: de slankheid KL/r is 344,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials