Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 50 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 400 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 50 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 50 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 75 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 750 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

30 kN @ 5 m20 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 20 kN op 2 mw = 4 kN/m van 0 tot 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 195 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 200 mm × 300 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 50 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 210 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 300 mmuitsparing: 50 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −20 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 12 kNw = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 150 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 150 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,04597 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·3063 = 4,351 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 50000·400/4,351 × 10⁸ = 0,04597 mm

Antwoord

δ = 0,04597 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 7,143 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 373 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106,1·2000/117000 = 1,814 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 373·1000/70000 = 5,329 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,143 mm

Antwoord

δ = 7,143 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 5,261 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(26000·251327) = 0,09182 rad

φ = 0,09182·180/π = 5,261°

Antwoord

φ = 5,261°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 13,51 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·40/3,77 × 10⁶ = 13,51 MPa

Antwoord

τ_max = 13,51 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 3 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 15 kN, R₂ = 35 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 30, M_D = 45 kN·m, M_E = 40, M_F = 35, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 45 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 64 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 4·10·5

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 24 = 36 kN

Snijd bij x = 2 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 36·2 − 4·2·1 = 64 kN·m

Antwoord

M_x = 64 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·150 − 1257·195)/(36000 − 1257) = 148,4 mm

Volle plaat om ȳ

120·300³/12 + 36000·1,628² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·46,63² = 2,858 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 440,1 × 10⁶ mm⁴

Zwaartepunt

ȳ = (60000·150 − 2500·210)/(60000 − 2500) = 147,4 mm

Volle plaat om ȳ

200·300³/12 + 60000·2,609² = 450,4 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

50·50³/12 + 2500·62,61² = 10,32 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 440,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 440,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 63,03 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 90 MPa, R = √((−30)² + (−20)²) = 36,06 MPa

σ₁ = 126,1 MPa, σ₂ = 53,94 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72,11, 126,1, 53,94)/2 = 63,03 MPa

Antwoord

τ_abs = 63,03 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 69,22 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−65·0,9848 + 30·0,1736 = 69,22 MPa

Antwoord

τ_θ = 69,22 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 33,48 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 33,48 mm

Antwoord

δ_max = 33,48 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 36,56 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, w = 2 N/mm, L = 6000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·6000³/(48·2,4 × 10¹²) = 22,5 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 14,06 mm

Tel ze op

δ_max = 22,5 + 14,06 = 36,56 mm

Antwoord

δ_max = 36,56 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 71,19 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71,19 kN

Antwoord

P_cr = 71,19 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 128,9 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 128,9 mm

Antwoord

d = 128,9 mm

Controle: de slankheid KL/r is 155,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials