Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 50 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 50 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 40 kNdeel 1: Ø35 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø20 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 1450 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 20 kN·m op x = 1,5 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mM₀ = 20 kN·m rechtsom, op 1,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 4 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 10 kN op 4 mw = 4 kN/m van 0 tot 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 200 mm breed met twee opstaande benen, 70 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 10 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 200 mmh = 70 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 20 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmM = 20 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 80 MPa en σᵧ = 100 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 110 MPa bereikt?

σ_x = 80 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 460 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (staal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 13 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 55 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 55 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,03638 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5890 = 6,872 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 50000·500/6,872 × 10⁸ = 0,03638 mm

Antwoord

δ = 0,03638 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,7406 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·500/200000 = 0,1039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·500/100000 = 0,6366 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,7406 mm

Antwoord

δ = 0,7406 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 18,68 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·38350) = 0,3259 rad

φ = 0,3259·180/π = 18,68°

Antwoord

φ = 18,68°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 15,41 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·25/534071 = 15,41 MPa

Antwoord

τ_max = 15,41 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −6 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/5 = 4 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −4 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −4·1,5 = −6 kN·m

Antwoord

M_x = −6 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 72 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·4 + 4·10·5

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 24 = 26 kN

Snijd bij x = 4 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 26·4 − 4·4·2 = 72 kN·m

Antwoord

M_x = 72 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 18,13 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 200·10 = 2000 mm², y₁ = 5 mm

twee benen: A₂ = 2·10·60 = 1200 mm², y₂ = 10 + 60/2 = 40 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2000·5 + 1200·40)/3200 = 18,13 mm

Antwoord

ȳ = 18,13 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 44,44 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

lijf: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·305 + 6000·150)/8600 = 196,9 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·10³/12 + 2600·(305 − 196,9)² = 3,043 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·300³/12 + 6000·(150 − 196,9)² = 5,818 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,043 × 10⁷ + 5,818 × 10⁷ = 8,86 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 196,9 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·196,9/8,86 × 10⁷ = 44,44 MPa

Antwoord

σ_onder = 44,44 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 17,32 MPa

Benodigde straal

C = (80 + 100)/2 = 90 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 90 = 20 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 10²) = 17,32 MPa

Antwoord

τ_xy = 17,32 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,057

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 20 MPa, R = 111,8 MPa

σ₁ = 131,8 MPa, σ₂ = −91,8 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 223,6 MPa

n = 460/223,6 = 2,057

Antwoord

n = 2,057

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 36,62 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 15·5000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 36,62 mm

Antwoord

δ = 36,62 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 42,35 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·5000³/(48·1,76 × 10¹²) = 19,24 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 23,12 mm

Tel ze op

δ_max = 19,24 + 23,12 = 42,35 mm

Antwoord

δ_max = 42,35 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 19,74 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/3000² = 19739 N = 19,74 kN

Antwoord

P_cr = 19,74 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 57,75 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 57,75 mm

Antwoord

d = 57,75 mm

Controle: de slankheid KL/r is 193,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials