Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 110 kNdeel 1: Ø35 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 50 kW overbrengen bij 1500 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mw = 6 kN/m van 0 tot 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

45 kN @ 6 m60 kN @ 2 m15 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 160 mm breed met twee opstaande benen, 160 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 12 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b = 160 mmh = 160 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 35 MPa op trek en 150 MPa op druk. Vind het grootste opbuigende (hogging) moment M_allow dat de balk kan dragen (geef de grootte).

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 1,5 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 4 kNa = 1,5 mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 150 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 150 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 125 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 125 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1421 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/70000 = 0,001421 = 1421 µε

Antwoord

ε = 1421 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 972,6 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 972,6 MPa

Antwoord

σ_max = 972,6 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,155 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(39000·613592) = 0,03761 rad

φ = 0,03761·180/π = 2,155°

Antwoord

φ = 2,155°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 34,06 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·60·0,6836)) = 34,06 mm

d_i = 0,75·34,06 = 25,55 mm

Antwoord

d_o = 34,06 mm

Een massieve as zou d = 30,01 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 18 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Snijd bij x = 2 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 15·2 − 6·2·1 = 18 kN·m

Antwoord

M_x = 18 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 64,5 kN, R₂ = 115,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 57, M_C = 99 kN·m, M_D = 66, M_E = 18, M_F = −45, M_G = 0

Antwoord

Markering C: M_C = 99 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 14,48 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 160·12 = 1920 mm², y₁ = 6 mm

twee benen: A₂ = 2·12·148 = 3552 mm², y₂ = 12 + 148/2 = 86 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1920·6 + 3552·86)/5472 = 57,93 mm

Stelling van Steiner

basis: 160·12³/12 + 1920·(6 − 57,93)² = 5,201 × 10⁶ mm⁴

twee benen: 2·12·148³/12 + 3552·(86 − 57,93)² = 9,282 × 10⁶ mm⁴

I_x = 5,201 × 10⁶ + 9,282 × 10⁶

I_x = 1,448 × 10⁷ mm⁴ = 14,48 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 14,48 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 30,61 kN·m

Zwaartepunt

ȳ = (5400·275 + 3120·130)/8520 = 221,9 mm

bovenrand: c = 290 − 221,9 = 68,1 mm

Traagheidsmoment

I = 180·30³/12 + 5400·53,1² + 12·260³/12 + 3120·91,9² = 5,956 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Opbuigend: de bovenkant staat op trek, de onderkant op druk.

bovenrand: M = 35·5,956 × 10⁷/68,1 = 30,61 kN·m

onderrand: M = 150·5,956 × 10⁷/221,9 = 40,26 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 30,61 kN·m (bovenrand)

Antwoord

M_allow = 30,61 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 112,4 MPa

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((130 − −80)/2)² + −40²) = 112,4 MPa

Antwoord

τ_max = 112,4 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 120,4 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 110 MPa, R = 28,28 MPa

σ₁ = 138,3 MPa, σ₂ = 81,72 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(138,3² − 138,3·81,72 + 81,72²) = 120,4 MPa

Antwoord

σ_vM = 120,4 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 2,201 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, a = 1500 mm, b = 6500 mm, L = 8000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·1500²·6500²/(3·7,2 × 10¹²·8000) = 2,201 mm

Antwoord

δ_P = 2,201 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 183,8 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12,5) = 7,766 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·7,766 × 10⁷/150)^1/3 = 183,8 mm

Antwoord

h_req = 183,8 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 17,3 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

Antwoord

P_cr = 17,3 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 53,02 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 53,02 mm

Antwoord

d = 53,02 mm

Controle: de slankheid KL/r is 132, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials