Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 25 kNdeel 1: Ø35 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø20 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van messing is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 40 mm en lengte 1,2 m; deel BC heeft diameter 25 mm en lengte 1,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 250 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,5 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium brengt 30 kW over bij 500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,5° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 15 kN·m op x = 3 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mM₀ = 15 kN·m rechtsom, op 3 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 7 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 20 kN op 7 mw = 10 kN/m van 0 tot 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 5 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmM = 5 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 1 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 20 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 125 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 125 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3661 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314,2 = 366,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 366,1/100000 = 0,003661 = 3661 µε

Antwoord

ε = 3661 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 79,58 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 79,58 MPa

Antwoord

σ_max = 79,58 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 81,49 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Antwoord

τ_max = 81,49 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 71,22 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Diameter op sterkte

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·80)) = 33,16 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 71,22 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(33,16, 71,22) = 71,22 mm

Antwoord

d = 71,22 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −11,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/4 = 3,75 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −3,75 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −3,75·3 = −11,25 kN·m

Antwoord

M_x = −11,25 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 147 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·7 + 10·10·5

R_B = 640/10 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 64 = 56 kN

Snijd bij x = 7 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 56·7 − 10·7·3,5 = 147 kN·m

Antwoord

M_x = 147 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 31,48 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

lijf: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·195 + 3240·90)/8640 = 155,6 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·30³/12 + 5400·(195 − 155,6)² = 8,777 × 10⁶ mm⁴

lijf: 18·180³/12 + 3240·(90 − 155,6)² = 2,27 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,777 × 10⁶ + 2,27 × 10⁷ = 3,148 × 10⁷ mm⁴ = 31,48 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 31,48 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 12,09 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

lijf: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·232,5 + 1760·110)/4760 = 187,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 120·25³/12 + 3000·(232,5 − 187,2)² = 6,311 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·220³/12 + 1760·(110 − 187,2)² = 1,759 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,311 × 10⁶ + 1,759 × 10⁷ = 2,39 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 245 − 187,2 = 57,79 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·57,79/2,39 × 10⁷ = 12,09 MPa

Antwoord

σ_boven = 12,09 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −3,17 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 130 − −50) = −6,34°

Hoek op het element

θ_p = −3,17°

Antwoord

θ_p = −3,17°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −2,391 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 50 + −10·0,6428 + −60·0,766 = −2,391 MPa

Antwoord

σ_θ = −2,391 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 2,778 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa³/(3EI) = 20000·1000³/(3·2,4 × 10¹²) = 2,778 mm

Antwoord

δ_P = 2,778 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 187,1 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·11,11) = 6,818 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·6,818 × 10⁷/125)^1/3 = 187,1 mm

Antwoord

h_req = 187,1 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 18,8 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1400² = 18799 N = 18,8 kN

Antwoord

P_cr = 18,8 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 6,94 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Antwoord

σ_cr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials