Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 50 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 150 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 150 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 1,2 m draagt een wringend moment van 100 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 3°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 100 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 100 kW overbrengen bij 1500 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 55 kN·m op x = 3,5 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mM₀ = 55 kN·m rechtsom, op 3,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 45 kN op 3 mw = 2 kN/m van 0 tot 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 130 mm breed en 18 mm dik, een totale hoogte van 440 mm en een lijf van 6 mm dik. Het draagt een buigend moment van 120 kN·m om de as x. Vind de grootte van de maximale buigspanning σ_max in de doorsnede.

B = 130 mmH = 440 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 110 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 2 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 12 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (constructiehout)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 5 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 5 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2758 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·3063 = 4,351 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 150000·800/4,351 × 10⁸ = 0,2758 mm

Antwoord

δ = 0,2758 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 15,04 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·175929/372279 = 18903 N

Spanning

σ₂ = 18903/1257 = 15,04 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 15,04 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 30,78 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1200/(26000·0,05236) = 88147 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 30,78 mm

Antwoord

d = 30,78 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 38,99 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·80·0,6836)) = 38,99 mm

d_i = 0,75·38,99 = 29,24 mm

Antwoord

d_o = 38,99 mm

Een massieve as zou d = 34,35 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −32,08 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/6 = 9,167 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −9,167 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −9,167·3,5 = −32,08 kN·m

Antwoord

M_x = −32,08 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 20,63 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·3 + 2·4·2

R_B = 151/4 = 37,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 53 − 37,75 = 15,25 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 15,25·1,5 − 2·1,5·0,75 = 20,63 kN·m

Antwoord

M_x = 20,63 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 14,61 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

lijf: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·190 + 1440·90)/5440 = 163,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·20³/12 + 4000·(190 − 163,5)² = 2,936 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·180³/12 + 1440·(90 − 163,5)² = 1,167 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,936 × 10⁶ + 1,167 × 10⁷ = 1,461 × 10⁷ mm⁴ = 14,61 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 14,61 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_max = 109,3 MPa

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 440 − 2·18 = 404 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·440³ − 124·404³)/12

I_x = 2,415 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 220 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·220/2,415 × 10⁸ = 109,3 MPa

Antwoord

σ_max = 109,3 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 78,1 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((130 − 30)/2)² + −60²) = 78,1 MPa

Antwoord

τ_max = 78,1 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 138,3 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 100 + 10·−0,5 + 50·0,866 = 138,3 MPa

Antwoord

σ_θ = 138,3 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 8,02 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa³/(3EI) = 12000·2000³/(3·3,99 × 10¹²) = 8,02 mm

Antwoord

δ_P = 8,02 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 39,95 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2500⁴/(384·11000·6,944) = 3,995 × 10⁷ mm⁴

I_req = 39,95 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 39,95 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,14 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/5000² = 5140 N = 5,14 kN

Antwoord

P_cr = 5,14 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 48,59 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 48,59 mm

Antwoord

d = 48,59 mm

Controle: de slankheid KL/r is 494, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials