Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 250 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 250 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 50 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø20 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 1450 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mw = 2 kN/m van 0 tot 10 mx = 1 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

10 kN @ 0 m30 kN @ 6 m50 kN @ 3 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 50 MPa op trek en 150 MPa op druk. Vind het grootste doorbuigende (sagging) moment M_allow dat de balk kan dragen.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 100 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Het element wordt 30° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 100 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 100 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 7 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 20 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 20 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2013 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 250000·800/9,935 × 10⁸ = 0,2013 mm

Antwoord

δ = 0,2013 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 5,255 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 70,74 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 70,74·2000/200000 = 0,7074 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 159,2·2000/70000 = 4,547 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,255 mm

Antwoord

δ = 5,255 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 6,755 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·79522) = 0,1179 rad

φ = 0,1179·180/π = 6,755°

Antwoord

φ = 6,755°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 20,13 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·25/408885 = 20,13 MPa

Antwoord

τ_max = 20,13 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 8 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 10 − 2·1 = 8 kN

Antwoord

V_x = 8 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 3 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 42 kN, R₂ = 72 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = 19, M_D = 42 kN·m, M_E = 9, M_F = −30, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 42 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 88,52 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

lijf: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·312,5 + 3600·150)/10100 = 254,6 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·25³/12 + 6500·(312,5 − 254,6)² = 2,214 × 10⁷ mm⁴

lijf: 12·300³/12 + 3600·(150 − 254,6)² = 6,637 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,214 × 10⁷ + 6,637 × 10⁷ = 8,852 × 10⁷ mm⁴ = 88,52 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 88,52 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 10,22 kN·m

Zwaartepunt

ȳ = (5200·290 + 2240·140)/7440 = 244,8 mm

bovenrand: c = 300 − 244,8 = 55,16 mm

Traagheidsmoment

I = 260·20³/12 + 5200·45,16² + 8·280³/12 + 2240·104,8² = 5,003 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Doorbuigend: de bovenkant staat op druk, de onderkant op trek.

bovenrand: M = 150·5,003 × 10⁷/55,16 = 136,1 kN·m

onderrand: M = 50·5,003 × 10⁷/244,8 = 10,22 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 10,22 kN·m (onderrand)

Antwoord

M_allow = 10,22 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 74,02 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 100 − 0·0,5 − 30·0,866 = 74,02 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 126 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 74,02 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 30,62 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −70·−0,866 + −60·0,5 = 30,62 MPa

Antwoord

τ_θ = 30,62 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 9,868 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·1500³/(3·1,76 × 10¹²) = 4,474 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 5,393 mm

Tel ze op

δ = 4,474 + 5,393 = 9,868 mm

Antwoord

δ = 9,868 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·11000·13,89) = 3,196 × 10⁸ mm⁴

I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 11,51 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2000² = 11515 N = 11,51 kN

Antwoord

P_cr = 11,51 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 29,99 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 29,99 mm

Antwoord

d = 29,99 mm

Controle: de slankheid KL/r is 186,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials