Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 300 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 115 kNdeel 1: Ø40 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 2 m, messing (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 5 kW overbrengen bij 1500 rpm. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 5 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 25 kN·m op x = 2 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mM₀ = 25 kN·m rechtsom, op 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 30 kN op 2,5 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 150 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 90 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 200 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 20 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 60 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 200 mmuitsparing: 40 × 20 mmmiddelpunt van het gat: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = 30 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 10 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,3616 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·7461 = 6,637 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 300000·800/6,637 × 10⁸ = 0,3616 mm

Antwoord

δ = 0,3616 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 21,25 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 91,51 MPa

σ₂ = 1017 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,51·1000/100000 = 0,9151 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1017·2000/100000 = 20,34 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 21,25 mm

Antwoord

δ = 21,25 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,28 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·251327) = 0,03979 rad

φ = 0,03979·180/π = 2,28°

Antwoord

φ = 2,28°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 17,47 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·40·0,7599)) = 17,47 mm

d_i = 0,7·17,47 = 12,23 mm

Antwoord

d_o = 17,47 mm

Een massieve as zou d = 15,94 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 18,75 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/8 = 3,125 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −3,125 kN (omlaag)

Snede net rechts van het koppel

Het linkerdeel bevat nu R_A en het koppel.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,125·2 + 25 = 18,75 kN·m

Antwoord

M_x = 18,75 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 43,75 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2,5 + 2·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 20·2,5 − 2·2,5·1,25 = 43,75 kN·m

Antwoord

M_x = 43,75 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (30000·75 − 1257·90)/(30000 − 1257) = 74,34 mm

Volle plaat om ȳ

200·150³/12 + 30000·0,6558² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·15,66² = 0,4337 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

Zwaartepunt

ȳ = (40000·100 − 800·60)/(40000 − 800) = 100,8 mm

Volle plaat om ȳ

200·200³/12 + 40000·−0,8163² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

40·20³/12 + 800·−40,82² = 1,359 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 67,08 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 0 MPa, R = √(60² + 30²) = 67,08 MPa

σ₁ = 67,08 MPa, σ₂ = −67,08 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134,2, 67,08, 67,08)/2 = 67,08 MPa

Antwoord

τ_abs = 67,08 MPa

Hier hebben σ₁ en σ₂ tegengestelde tekens, dus het maximum in het vlak R is ook het absolute maximum.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 27,14 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 40 + 0·0,766 + 20·−0,6428 = 27,14 MPa

Antwoord

σ_θ = 27,14 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 11,07 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 11,07 mm

Antwoord

δ_max = 11,07 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 11,55 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·6000³/(48·1,12 × 10¹³) = 4,018 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 7,533 mm

Tel ze op

δ_max = 4,018 + 7,533 = 11,55 mm

Antwoord

δ_max = 11,55 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 9,024 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1750² = 9024 N = 9,024 kN

Antwoord

P_cr = 9,024 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 11,99 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Antwoord

σ_cr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials