Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 600 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 300 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 30 mm en lengte 1,5 m; deel BC heeft diameter 20 mm en lengte 2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 250 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 250 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 50 kW overbrengen bij 500 rpm. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 50 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 3 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mw = 4 kN/m van 0 tot 8 mx = 3 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment M_max tussen de opleggingen.

L = 10,5 mw = 4 kN/m van 0 tot 10,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 110 × 10 mm, een lijf van 180 mm hoog en 8 mm dik, en een onderflens van 280 × 22 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 110 × 10 mmlijf: 8 × 180 mmonderflens: 280 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 500 mm en wanddikte 12 mm bevat gas met een overdruk van 1,2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 55° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 500 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt twee gelijke puntlasten P op de derdepunten (L/3 vanaf elke oplegging). Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 21 kNL = 5 mE = 200 GPa (staal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,4442 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 300000·600/4,053 × 10⁸ = 0,4442 mm

Antwoord

δ = 0,4442 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 12,21 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·293215/764454 = 15342 N

Spanning

σ₂ = 15342/1257 = 12,21 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 12,21 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 159,2 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Antwoord

τ_max = 159,2 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 51,89 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0,8704)) = 51,89 mm

d_i = 0,6·51,89 = 31,13 mm

Antwoord

d_o = 51,89 mm

Een massieve as zou d = 49,54 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 4 kN

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Snijd bij x = 3 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 16 − 4·3 = 4 kN

Antwoord

V_x = 4 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 26,06 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·10,5 = 42 kN, aangrijpend op x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·10,5·5,25

R_B = 220,5/8 = 27,56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 27,56 = 14,44 kN

Dwarskracht nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 14,44/4 = 3,609 m

Maximaal doorbuigend moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 14,44²/(2·4) = 26,06 kN·m

Antwoord

M_max = 26,06 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 73,52 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

lijf: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·290 + 5040·140)/7840 = 193,6 mm

Stelling van Steiner

flens: 140·20³/12 + 2800·(290 − 193,6)² = 2,613 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·280³/12 + 5040·(140 − 193,6)² = 4,739 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,613 × 10⁷ + 4,739 × 10⁷ = 7,352 × 10⁷ mm⁴ = 73,52 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 73,52 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 46,11 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 1100 mm², y = 207 mm

lijf: A = 1440 mm², y = 112 mm

onderflens: A = 6160 mm², y = 11 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1100·207 + 1440·112 + 6160·11)/8700 = 52,5 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 110·10³/12 + 1100·154,5² = 2,627 × 10⁷ mm⁴

lijf: 8·180³/12 + 1440·59,5² = 8,986 × 10⁶ mm⁴

onderflens: 280·22³/12 + 6160·41,5² = 1,086 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,627 × 10⁷ + 8,986 × 10⁶ + 1,086 × 10⁷

I_x = 4,611 × 10⁷ mm⁴ = 46,11 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 46,11 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 78,1 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((150 − 50)/2)² + −60²) = 78,1 MPa

Antwoord

τ_max = 78,1 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 16,61 MPa

Spanningen in de wand

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,2·250/12 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 12,5·sin²55° + 25·cos²55° = 16,61 MPa

Antwoord

σ_n = 16,61 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,02273 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,02273 rad

Antwoord

θ_A = 0,02273 rad

Dat is 1,302°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 8,173 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Eén last op L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 4,086 mm

Tel beide lasten op

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 8,173 mm

Antwoord

δ_max = 8,173 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 763,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1050² = 763906 N = 763,9 kN

Antwoord

P_cr = 763,9 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 11,05 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Antwoord

σ_cr = 11,05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials