Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 65 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 20 kNdeel 1: Ø35 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van staal (buitendiameter 30 mm, binnendiameter 21 mm, lengte 2,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 500 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 500 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing brengt 5 kW over bij 500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,25° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 6 kN/m van 0 tot 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 7 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 20 kN op 2 mw = 5 kN/m van 0 tot 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 156 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 30 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 80 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 200 mmuitsparing: 40 × 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 460 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 0,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 12 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een puntlast P in het midden. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 8 mP = 10 kN op 4 m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,379 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/100000 = 0,0009196 = 919,6 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0009196·1500 mm = 1,379 mm

Antwoord

δ = 1,379 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,3972 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 20,79 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,79·500/70000 = 0,1485 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99,47·500/200000 = 0,2487 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,3972 mm

Antwoord

δ = 0,3972 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 14,81 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Wringhoek

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·2500/(80000·60428) = 0,2586 rad

φ = 0,2586·180/π = 14,81°

Antwoord

φ = 14,81°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 48,9 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Diameter op sterkte

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·40)) = 22,99 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,9 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(22,99, 48,9) = 48,9 mm

Antwoord

d = 48,9 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 12 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Snijd bij x = 2 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 12·2 − 6·2·1 = 12 kN·m

Antwoord

M_x = 12 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 22,5 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2 + 5·8·4

R_B = 200/8 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 25 = 35 kN

Snijd bij x = 7 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 35·7 − 20·(7 − 2) − 5·7·3,5 = 22,5 kN·m

Antwoord

M_x = 22,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (48000·120 − 1257·156)/(48000 − 1257) = 119 mm

Volle plaat om ȳ

200·240³/12 + 48000·0,9678² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·36,97² = 1,843 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 79,4 × 10⁶ mm⁴

Zwaartepunt

ȳ = (24000·100 − 1200·80)/(24000 − 1200) = 101,1 mm

Volle plaat om ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,053² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

40·30³/12 + 1200·−21,05² = 0,6219 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 79,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 79,4 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 21,35 °

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 50 − −80) = 42,71°

Hoek op het element

θ_p = 21,35°

Antwoord

θ_p = 21,35°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 4,468

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 20 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 78,31 MPa, σ₂ = −38,31 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(78,31² − 78,31·(−38,31) + (−38,31)²) = 103 MPa

n = 460/103 = 4,468

Antwoord

n = 4,468

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 1,263 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa³/(3EI) = 12000·500³/(3·3,96 × 10¹¹) = 1,263 mm

Antwoord

δ_P = 1,263 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 3,125 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·10/16 = 3,125 kN

Antwoord

R_B = 3,125 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 4,112 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/4000² = 4112 N = 4,112 kN

Antwoord

P_cr = 4,112 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 24,87 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7,5 = 166,7

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Antwoord

σ_cr = 24,87 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials