Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 40 mm, lengte 200 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 250 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 30 mm, binnendiameter 18 mm, lengte 1 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 100 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 100 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 30 kW over bij 1500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,25° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP₁ = 40 kN op 3,5 mP₂ = 55 kN op 6 mopleggingen bij x = 0 en x = 5 m

M_B = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 55 kN op 1 mw = 8 kN/m van 0 tot 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 200 mm breed en 22 mm dik, een totale hoogte van 340 mm en een lijf van 12 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 200 mmH = 340 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 5 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 30 mm draagt een buigend moment van 200 N·m samen met een wringend moment van 100 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

d = 30 mmM = 200 N·mT = 100 N·m

τ_max = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 125 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/250. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 125 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 65 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 65 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 53,86 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1,326 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,3/5,57 × 10⁻⁶ = 53856 N = 53,86 kN

Antwoord

P = 53,86 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 288,1 kN

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·2199 = 2,521 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00125, 0,001143) = 0,001143 (aluminium)

Grootste belasting

P_max = 0,001143·2,521 × 10⁸ = 288129 N = 288,1 kN

Antwoord

P_max = 288,1 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 3,184 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Wringhoek

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·1000/(26000·69216) = 0,05557 rad

φ = 0,05557·180/π = 3,184°

Antwoord

φ = 3,184°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 48,59 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Diameter op sterkte

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,59 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(23,49, 48,59) = 48,59 mm

Antwoord

d = 48,59 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −55 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3,5 + 55·6

R_B = 470/5 = 94 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 94 = 1 kN

Snede bij B, houd het overstek over

Op het overstek werkt alleen P₂, met arm a. Die buigt de balk boven de oplegging omhoog (opbuigend, hogging).

M_B = −P₂·a = −55·1 = −55 kN·m

Antwoord

M_B = −55 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 85,5 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·1 + 8·10·5

R_B = 455/10 = 45,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 45,5 = 89,5 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 89,5·1 − 8·1·0,5 = 85,5 kN·m

Antwoord

M_x = 85,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 248,8 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 340 − 2·22 = 296 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·340³ − 188·296³)/12

I_x = 2,488 × 10⁸ mm⁴ = 248,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 248,8 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 58,65 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

lijf: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·135 + 1680·60)/9480 = 121,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·30³/12 + 7800·(135 − 121,7)² = 1,963 × 10⁶ mm⁴

lijf: 14·120³/12 + 1680·(60 − 121,7)² = 8,413 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,963 × 10⁶ + 8,413 × 10⁶ = 1,038 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 121,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·121,7/1,038 × 10⁷ = 58,65 MPa

Antwoord

σ_onder = 58,65 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −14,31 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 140 − 30) = −28,61°

Hoek op het element

θ_p = −14,31°

Antwoord

θ_p = −14,31°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 42,18 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 37,73 MPa

R = √(37,73² + 18,86²) = 42,18 MPa

Antwoord

τ_max = 42,18 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,002466 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 5·2500³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,002466 rad

Antwoord

θ_A = 0,002466 rad

Dat is 0,1413°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 207,1 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·20) = 9,248 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·9,248 × 10⁷/125)^1/3 = 207,1 mm

Antwoord

h_req = 207,1 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 16,84 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2500² = 16844 N = 16,84 kN

Antwoord

P_cr = 16,84 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 53,81 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 53,81 mm

Antwoord

d = 53,81 mm

Controle: de slankheid KL/r is 185,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials