Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 16 mmStaal0,5 mP = 30 kN

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Axiale spanning en rekMoeilijk
P = ?Ø2070 GPaØ100/70600 mm

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torsie van assenGemiddeld
d1​ = 25 mmd2​ = 20 mmT = 250 N·mABC1,5 m1,2 m

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 25 mm en lengte 1,5 m; deel BC heeft diameter 20 mm en lengte 1,2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 250 N·m. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.

T = 250 N·md1 = 25 mm, L1 = 1,5 md2 = 20 mm, L2 = 1,2 m
τmax = MPa
4.Torsie van assenMoeilijk
d = 50 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 1500 N·mABC1 m3 m

Een massieve as van aluminium met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 100 N·m werkt in B, op 1 m van A, en een wringend moment van 1500 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 3 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φC van uiteinde C, in graden.

d = 50 mmTB = 100 N·mTC = 1500 N·mAB = 1 mBC = 3 mG = 26 GPa
φC = °
5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
P1​ = 20 kNP2​ = 65 kNAB2,5 m0,5 m1 m

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.

L = 4 mP1 = 20 kN op 2,5 mP2 = 65 kN op 3 m
Mmax = kN·m
6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 3 kN/mP = 55 kNABdoorsnede1 m3 m

Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 55 kN op 1 mw = 3 kN/m van 0 tot 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
2202022014xafmetingen in mm

Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
1801020018xM = 40 kN·mafmetingen in mm

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de buigspanning σonder aan de onderrand.

bf = 180 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 200 mmM = 40 kN·m
σonder = MPa
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = −80σy​ = −60τxy​ = −10MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −80 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θp van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σx = −80 MPaσy = −60 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​ = −80σy​ = −30τxy​ = −50MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σθ op een vlak waarvan de normaal 15° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σx = −80 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 10 kN/mABθ2 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θA van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 20 kN/mδL = 2,5 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 6 md = 40 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 2,5 md = 80 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm
σcr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 746 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/200000 = 0,000746 = 746 µε

Antwoord

ε = 746 µε
2.Axiale spanning en rek

Antwoord: Pmax = 245,2 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·4006 = 3,432 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,0007143) = 0,0007143 (aluminium)

Grootste belasting

Pmax = 0,0007143·3,432 × 10⁸ = 245156 N = 245,2 kN

Antwoord

Pmax = 245,2 kN
3.Torsie van assen

Antwoord: τmax = 159,2 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 250 N·m = 250000 N·mm
τAB = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa
τBC = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Antwoord

τmax = 159,2 MPa
4.Torsie van assen

Antwoord: φC = 21,19 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Inwendige wringende momenten

Draaizin van TC positief genomen.

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 100 = 1400 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 1,4 × 10⁶·1000/(26000·613592) = 0,08776 rad
φBC = 1,5 × 10⁶·3000/(26000·613592) = 0,2821 rad

Wringhoek van uiteinde C

φC = 0,08776 + 0,2821 = 0,3698 rad → |φC| = 21,19°

Antwoord

φC = 21,19°
5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 61,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·2,5 + 65·3
RB = 245/4 = 61,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 61,25 = 23,75 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P1: M = RA·2,5 = 23,75·2,5 = 59,38 kN·m
onder P2: M = RB·1 = 61,25·1 = 61,25 kN·m

Grootste waarde

Mmax = 61,25 kN·m (onder P2)

Antwoord

Mmax = 61,25 kN·m
6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = 45,75 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1 + 3·4·2
RB = 79/4 = 19,75 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 19,75 = 47,25 kN
w = 3 kN/mP = 55 kNABRA​ = 47,25RB​ = 19,75doorsnede1 m3 m

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 47,25·1 − 3·1·0,5 = 45,75 kN·m

Antwoord

Mx = 45,75 kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 38,66 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
lijf: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·230 + 3080·110)/7480 = 180,6 mm

Stelling van Steiner

flens: 220·20³/12 + 4400·(230 − 180,6)² = 1,089 × 10⁷ mm⁴
lijf: 14·220³/12 + 3080·(110 − 180,6)² = 2,777 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,089 × 10⁷ + 2,777 × 10⁷ = 3,866 × 10⁷ mm⁴ = 38,66 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 38,66 × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σonder = 213,9 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 180·10 = 1800 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
lijf: Aw = 18·200 = 3600 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·205 + 3600·100)/5400 = 135 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·10³/12 + 1800·(205 − 135)² = 8,835 × 10⁶ mm⁴
lijf: 18·200³/12 + 3600·(100 − 135)² = 1,641 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8,835 × 10⁶ + 1,641 × 10⁷ = 2,525 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 135 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·135/2,525 × 10⁷ = 213,9 MPa

Antwoord

σonder = 213,9 MPa
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θp = −67,5 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

σxyCσ1​σ2​

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, −80 − −60) = −135°

Hoek op het element

θp = −67,5°

Antwoord

θp = −67,5°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σθ = −101,7 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatieformule

σθ = −55 + −25·0,866 + −50·0,5 = −101,7 MPa

Antwoord

σθ = −101,7 MPa
11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θA = 0,005316 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θA = wL³/(24EI) = 10·2000³/(24·6,27 × 10¹¹) = 0,005316 rad

Antwoord

θA = 0,005316 rad

Dat is 0,3046°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: Ireq = 20,93 × 10⁶ mm⁴

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Doorbuigingseis

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2500⁴/(384·70000·6,944) = 2,093 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 20,93 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ireq = 20,93 × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 2,412 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Antwoord

Pcr = 2,412 kN
14.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 126,3 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Antwoord

σcr = 126,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials