Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van brons (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 110 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 60 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 3000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 20 kN·m op x = 3 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mM₀ = 20 kN·m rechtsom, op 3 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 45 kN op 1 mw = 10 kN/m van 0 tot 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 280 mm breed met twee opstaande benen, 70 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 10 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b = 280 mmh = 70 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 200 mm × 240 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 60 mm breed en 20 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 72 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 240 mmuitsparing: 60 × 20 mmmiddelpunt van het gat: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 40 mm draagt een buigend moment van 1500 N·m samen met een wringend moment van 750 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

d = 40 mmM = 1500 N·mT = 750 N·m

τ_max = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 23 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 9 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 130 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 130 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 91,75 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706,9) = 3,858 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/5,45 × 10⁻⁶ = 91746 N = 91,75 kN

Antwoord

P = 91,75 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 298,4 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 298,4 MPa

Antwoord

σ_max = 298,4 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 11,21 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·38350) = 0,1956 rad

φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Antwoord

φ = 11,21°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 37,05 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·20/171806 = 37,05 MPa

Antwoord

τ_max = 37,05 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −6 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/10 = 2 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −2 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −2·3 = −6 kN·m

Antwoord

M_x = −6 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 48 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1 + 10·5·2,5

R_B = 170/5 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 34 = 61 kN

Snijd bij x = 3 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 61·3 − 45·(3 − 1) − 10·3·1,5 = 48 kN·m

Antwoord

M_x = 48 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 1,412 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 280·10 = 2800 mm², y₁ = 5 mm

twee benen: A₂ = 2·10·60 = 1200 mm², y₂ = 10 + 60/2 = 40 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2800·5 + 1200·40)/4000 = 15,5 mm

Stelling van Steiner

basis: 280·10³/12 + 2800·(5 − 15,5)² = 332033 mm⁴

twee benen: 2·10·60³/12 + 1200·(40 − 15,5)² = 1,08 × 10⁶ mm⁴

I_x = 332033 + 1,08 × 10⁶

I_x = 1,412 × 10⁶ mm⁴ = 1,412 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 1,412 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 227,5 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (48000·120 − 1200·72)/(48000 − 1200) = 121,2 mm

Volle plaat om ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,231² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

60·20³/12 + 1200·−49,23² = 2,948 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 227,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 227,5 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 72,11 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((30 − 110)/2)² + 60²) = 72,11 MPa

Antwoord

τ_max = 72,11 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 133,5 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·40³) = 238,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 119,4 MPa

R = √(119,4² + 59,68²) = 133,5 MPa

Antwoord

τ_max = 133,5 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 13,95 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 23000·1500³/(3·2,4 × 10¹²) = 10,78 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 3,164 mm

Tel ze op

δ = 10,78 + 3,164 = 13,95 mm

Antwoord

δ = 13,95 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 16,48 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·3000³/(48·6,27 × 10¹¹) = 8,074 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 8,411 mm

Tel ze op

δ_max = 8,074 + 8,411 = 16,48 mm

Antwoord

δ_max = 16,48 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 429,7 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1400² = 429697 N = 429,7 kN

Antwoord

P_cr = 429,7 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 78,69 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 78,69 mm

Antwoord

d = 78,69 mm

Controle: de slankheid KL/r is 101,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials