Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
De snelheid van een voertuig wordt elke 10 s gemeten (tabel). Schat de afgelegde afstand s van t = 0 tot t = 60 s met de regel van Simpson.
h = 10 sn = 6
s = m
2.Numerieke methodenMoeilijk
Los y′ = t − y, y(0) = 2 op met de methode van Euler en stap h = 0,25 tot t = 1. De exacte oplossing is y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Bepaal de globale fout |E| = |y(1) − y4|.
y′ = t − yy(0) = 2h = 0,25
|E| =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
Bepaal de som S = Σk=1∞ 12/(k(k + 4)).
ak = 12/(k(k + 4))
S =
4.Rijen & reeksenMoeilijk
f(x) = eˣ wordt benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad 4 in x = 1. Gebruik de Lagrange-foutgrens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! met M = e1 = 2,718 om de grootst mogelijke fout |R₄| te vinden.
f(x) = eˣn = 4x = 1M = 2,718
|R₄| =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Bereken de determinant det A van de getoonde 3×3-matrix A.
A = [−2 4 −3; −1 4 −5; −1 −3 4]
det A =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Los het stelsel 5x − 2y = −5 en 6x − y = −10 op. Bereken x.
5x − 2y = −56x − y = −10
x =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Een gesmeed stalen onderdeel van 460 °C koelt af in een werkplaats van 23 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken met k = 0,02 min⁻¹ de temperatuur T na 15 min.
T0 = 460 °CTa = 23 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 15 min
T = °C
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 2y′ + 17y = 34, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(1); hoeken in radialen.
y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: s = 563,3 m
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Gewogen som
2 + 4·4 + 2·3 + 4·8 + 2·11 + 4·17 + 23 = 169
Regel van Simpson
s = (10/3)·169 = 563,3 m
Antwoord
s = 563,3 m
2.Numerieke methoden
Antwoord: |E| = 0,1544
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y4 = 0,949219
Exacte waarde
y(1) = 1,103638
Globale fout
|E| = |1,103638 − 0,949219| = 0,1544
Grafiek
Antwoord
|E| = 0,1544
Als je h halveert, halveert de fout van de methode van Euler ongeveer.
3.Rijen & reeksen
Antwoord: S = 6,25
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Partieelbreuken
12/(k(k + 4)) = (12/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Annuleren
S = (12/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 6,25
Antwoord
S = 6,25
4.Rijen & reeksen
Antwoord: |R₄| = 0,02265
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Grens op de afgeleide
M = e1 = 2,718
Lagrange-grens
|R₄| ≤ 2,718·1⁵/5! = 0,02265
Antwoord
|R₄| = 0,02265
De werkelijke fout is kleiner: |f(1) − P₄(1)| = 0,009948.
5.Matrices & determinanten
Antwoord: det A = 13
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
2×2-minoren van de eerste rij
M₁₁ = 1, M₁₂ = −9, M₁₃ = 7
Cofactorontwikkeling
det A = (−2)·1 − 4·(−9) + (−3)·7 = 13
Antwoord
det A = 13
6.Matrices & determinanten
Antwoord: x = −2,143
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Determinant van de coëfficiëntenmatrix
det A = 5·(−1) − (−2)·6 = 7
De x-kolom vervangen
det Aₓ = (−5)·(−1) − (−2)·(−10) = −15
x = −15/7 = −2,143
Antwoord
x = −2,143
y = −2,857
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: T = 346,7 °C
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Oplossing van de afkoelingswet
T(t) = 23 + 437·e−0,02t
Vul t in
T(15) = 23 + 437·0,7408 = 346,7 °C
Antwoord
T = 346,7 °C
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1) = 2,62
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.