Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal het inwendig product a·b van a = (3, −3, 4) en b = (−3, 0, −5).

a = (3, −3, 4)b = (−3, 0, −5)

a·b =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (5, 0, −1) als b = (−3, −1, 3) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn x-component n̂_x.

a = (5, 0, −1)b = (−3, −1, 3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 5 mP₁ = 10 kN op 1,5 mP₂ = 60 kN op 4 m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een lineair verlopende belasting die 6 kN/m is bij de muur en afloopt tot nul aan het vrije uiteinde B, plus een puntlast P op 4 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 4 mw₀ = 6 kN/mP = 30 kN op 4 m

M_A = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 4 m van Averticale belasting = 35 kN

F_AC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 20 kN ↓D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 35 kN ↓H: 15 kN ↓H: 10 kN ←

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 3,2 m uit elkaar, met de topscharnier C op 2,5 m hoogte en de horizontale trekstang DE 1,2 m boven de grond. Een verticale belasting van 15 kN werkt op poot AC in K, 0,4 m (horizontaal) van A. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.

P = 15 kNAB = 3,2 mhoogte van C = 2,5 mhoogte van DE = 1,2 mhorizontale afstand A tot K = 0,4 m

T = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,5 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 2 kN/m en een puntlast van 12 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht F_CD in de stut.

w = 2 kN/mP = 12 kNAD = 0,8 mAB = 2,5 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 3 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 3 mP = 10 kN op 3 mw = 4 kN/m van 0 tot 3 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 12 m60 kN @ 6 m5 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 250 mm breed en 10 mm dik, een totale hoogte van 420 mm en een lijf van 8 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 250 mmH = 420 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 20 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_boven = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: a·b = −29

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op

a·b = 3·(−3) + (−3)·0 + 4·(−5) = (−9) + 0 + (−20) = −29

Antwoord

a·b = −29

Negatief: de hoek tussen de vectoren is groter dan 90°.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_x = 0,0767

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·3 − (−1)·(−1) = −1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−3) − 5·3 = −12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−1) − 0·(−3) = −5

Normeren

De z-component van a × b is negatief, dus gebruik −(a × b).

|a × b| = √((−1)² + (−12)² + (−5)²) = 13,04

n̂ = −(−1, −12, −5)/13,04 = (0,0767, 0,9204, 0,3835)

n̂_x = 0,0767

Antwoord

n̂_x = 0,0767

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 51 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1,5 + 60·4

R_B = 255/5 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 51 = 19 kN

Antwoord

R_B = 51 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 136 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Moment om de muur

M_A = W·x̄ + P·a = 12·1,333 + 30·4 = 136 kN·m

Antwoord

M_A = 136 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 14 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·4 → C_y = 28 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 28 = 7 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28/0,8944 = −31,3 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−31,3)·0,4472 = 14 kN

Antwoord

F_AC = 14 kN (trek)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 62,5 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 62,5 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 72,5 kN (C), AF: 102,5 kN (C), HE: 88,39 kN (C), BF: 37,5 kN (T), CG: 0, DH: 47,5 kN (T), BG: 24,75 kN (C), DG: 24,75 kN (C)

Antwoord

Nulstaaf: CG

7.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 2,308 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Heel raamwerk: momenten om A

B_y = 15·0,4/3,2 = 1,875 kN

Poot BC: momenten om C

1,875·1,6 = T·1,3

T = 2,308 kN

Antwoord

T = 2,308 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F_CD = 85,5 kN

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

w·L = 2·2,5 = 5 kN op 1,25 m

Momenten om A voor de balk

F_CD·0,53·0,8 = 5·1,25 + 12·2,5 = 36,25 kN·m

F_CD = 85,5 kN

Antwoord

F_CD = 85,5 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −37,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −10·2,5 = −25 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_x = −25 − 12,5 = −37,5 kN·m

Antwoord

M_x = −37,5 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 15 kN, R₂ = 125 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 20, M_D = 0, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −160 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 252,8 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 420 − 2·10 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·420³ − 242·400³)/12

I_x = 2,528 × 10⁸ mm⁴ = 252,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 252,8 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 47,67 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

lijf: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·195 + 1440·90)/6240 = 170,8 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·30³/12 + 4800·(195 − 170,8)² = 3,178 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·180³/12 + 1440·(90 − 170,8)² = 1,328 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,178 × 10⁶ + 1,328 × 10⁷ = 1,646 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 210 − 170,8 = 39,23 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·39,23/1,646 × 10⁷ = 47,67 MPa

Antwoord

σ_boven = 47,67 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics