Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Een constante kracht F = (−10, 10, −10) N werkt op een voorwerp terwijl het zich in een rechte lijn verplaatst van punt A(−1, −2, 5) naar punt B(1, 5, −2). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de arbeid W die de kracht verricht.
F = (−10, 10, −10) NA(−1, −2, 5) mB(1, 5, −2) m
W = J
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal voor a = (−5, −1, −3) en b = (0, 5, −1) de y-component (a × b)y van het uitwendig product a × b.
a = (−5, −1, −3)b = (0, 5, −1)
(a × b)y =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 10 mP1 = 15 kN op 3 mP2 = 35 kN op 6 m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (4 m van A) en rust op een rol in D (8 m van A). Hij draagt een puntlast P op 7 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD. Vind de grootte van het inklemmingsmoment MA bij de muur.
AC = 4 mAD = 8 mP = 60 kN op 7 mw = 10 kN/m van 4 tot 8 m
MA = kN·m
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
B: 15 kN ↓G: 25 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
In de getoonde kniehefboomklem zijn twee gelijke schakels AB en BC in B scharnierend verbonden, en elk maakt 5° met de lijn AC. In B wordt een neerwaartse kracht van 300 N uitgeoefend. De schuif C drukt op een werkstuk. Bepaal, zonder wrijving en gewichten, de horizontale klemkracht Q.
F = 300 Nθ = 5°
Q = N
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,8 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 2 kN/m en een puntlast van 3 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht FCD in de stut.
w = 2 kN/mP = 3 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 0,8 m
FCD = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 8 mw = 3 kN/m van 0 tot 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 10 mw = 12 kN/m van 7 tot 9 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 260 mm breed met twee opstaande benen, 60 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 14 mm dik. Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale as x door het zwaartepunt.
b = 260 mmh = 60 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σboven aan de bovenrand.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Verplaatsing
d = B − A = (1, 5, −2) − (−1, −2, 5) = (2, 7, −7) m
Arbeid
W = F·d = (−10)·2 + 10·7 + (−10)·(−7) = 120 J
Antwoord
W = 120 J
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: (a × b)y = −5
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product, component voor component
(a × b)x = aybz − azby = (−1)·(−1) − (−3)·5 = 16
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·0 − (−5)·(−1) = −5
(a × b)z = axby − aybx = (−5)·5 − (−1)·0 = −25
Gevraagde component
(a × b)y = −5
Antwoord
(a × b)y = −5
Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 25,5 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·10 = 15·3 + 35·6
RB = 255/10 = 25,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25,5 = 24,5 kN
Antwoord
RB = 25,5 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: MA = 140 kN·m
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.
Deel CD
Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.
W = 10·4 = 40 kN op 2 m vanaf C
ΣMC = 0: RD·4 = 60·3 + 40·2
RD = 65 kN
VC = 100 − 65 = 35 kN
Deel AC
De scharnierkracht VC werkt omlaag op AC (even groot en tegengesteld aan haar werking op CD).
RA = 35 = 35 kN
MA = 35·4 = 140 kN·m
Antwoord
MA = 140 kN·m
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf CG
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt G
FG en GH liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Evenwicht van pen B
2·Flink·sin 5° = 300
Flink = 1721 N
Klemkracht
Q = Flink·cos 5° = 300/(2·tan 5°) = 1715 N
Antwoord
Q = 1715 N
De krachtverhouding Q/F = 5,715 groeit onbeperkt als de schakels strekken.
8.Raamwerken en machines
Antwoord: FCD = 11,93 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting
w·L = 2·1,5 = 3 kN op 0,75 m
Momenten om A voor de balk
FCD·0,7071·0,8 = 3·0,75 + 3·1,5 = 6,75 kN·m
FCD = 11,93 kN
Antwoord
FCD = 11,93 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = 22,5 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·8·4
RB = 96/8 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
Snijd bij x = 5 m en houd het linkerdeel over
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 12·5 − 3·5·2,5 = 22,5 kN·m
Antwoord
Mx = 22,5 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 34,56 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 8 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·2·8
RB = 192/10 = 19,2 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 19,2 = 4,8 kN
Dwarskracht nul
De dwarskracht begint bij RA, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in rechthoeken
Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.
basis: A1 = 260·14 = 3640 mm², y1 = 7 mm
twee benen: A2 = 2·14·46 = 1288 mm², y2 = 14 + 46/2 = 37 mm
twee benen: 2·14·46³/12 + 1288·(37 − 14,84)² = 859558 mm⁴
Ix = 283240 + 859558
Ix = 1,143 × 10⁶ mm⁴ = 1,143 × 10⁶ mm⁴
Antwoord
Ix = 1,143 × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: σboven = 45,25 MPa
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm