Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de waarde van k waarvoor de vectoren a = (3, 5, 6) en b = (6, k, −5) loodrecht op elkaar staan.

a = (3, 5, 6)b = (6, k, −5)

k =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−5, 3, −4) als b = (4, −3, 0) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn x-component n̂_x.

a = (−5, 3, −4)b = (4, −3, 0)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Hij draagt een puntlast P op 3 m van A en een rechtsdraaiend koppel M op 9 m van A. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

L = 10 mP = 20 kN op 3 mM = 60 kN·m (rechtsdraaiend) op 9 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (3 m van A) en rust op een rol in D (10 m van A). Hij draagt een puntlast P op 6 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD en een puntlast Q op 1 m van A. Vind de reactie R_D bij de rol.

AC = 3 mAD = 10 mP = 55 kN op 6 mw = 10 kN/m van 3 tot 10 mQ = 25 kN op 1 m

R_D = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 35 kN ↓F: 15 kN ↓H: 20 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 15 kN ↓C: 25 kN ↓F: 35 kN ↓F: 30 kN →G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 5 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 2 m boven de grond en 1,5 m rechts van A. Een verticale belasting van 15 kN werkt op staaf AB in K, 0,6 m (horizontaal) van A. Bepaal de kracht F_BC in staaf BC.

P = 15 kNL = 5 mH = 2 mhorizontale afstand A tot B = 1,5 mhorizontale afstand A tot K = 0,6 m

F_BC = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 0,5 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van zijn uiteinde B naar het punt C op de muur, 2 m boven A. In B hangt een last van 2 kN. Bepaal de spanning T in de kabel.

W = 2 kNW_b = 0,5 kNAB = 2,5 mAC = 2 m

T = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mw = 6 kN/m van 0 tot 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

60 kN @ 0 m40 kN @ 12 m35 kN @ 8 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 150 × 20 mm, een lijf van 370 mm hoog en 8 mm dik, en een onderflens van 230 × 22 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 150 × 20 mmlijf: 8 × 370 mmonderflens: 230 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: k = 2,4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product is gelijk aan nul

a·b = 3·6 + 5·k + 6·(−5) = 0

−12 + 5·k = 0

Los op naar k

k = −(−12)/5 = 2,4

Antwoord

k = 2,4

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_x = −0,5934

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·0 − (−4)·(−3) = −12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·4 − (−5)·0 = −16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−3) − 3·4 = 3

Normeren

De z-component van a × b is al positief.

|a × b| = √((−12)² + (−16)² + 3²) = 20,22

n̂ = (−12, −16, 3)/20,22 = (−0,5934, −0,7911, 0,1483)

n̂_x = −0,5934

Antwoord

n̂_x = −0,5934

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 8 kN

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 20·3 − 60 = 0

R_B = 120/10 = 12 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 20 − 12 = 8 kN

Antwoord

R_A = 8 kN

Een negatieve reactie werkt omlaag.

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_D = 58,57 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.

Deel CD

Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.

W = 10·7 = 70 kN op 3,5 m vanaf C

ΣM_C = 0: R_D·7 = 55·3 + 70·3,5

R_D = 58,57 kN

V_C = 125 − 58,57 = 66,43 kN

Antwoord

R_D = 58,57 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 42,5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 27,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 10,61 kN (T), DG: 10,61 kN (C)

Antwoord

Nulstaaf: CG

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf DH

Knooppunt D

CD en DE liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen DH over.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 74,06 kN (T), BC: 74,06 kN (T), CD: 53,44 kN (T), DE: 53,44 kN (T), FG: 80,62 kN (C), GH: 80,62 kN (C), AF: 73,44 kN (C), HE: 89,06 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 10,94 kN (T), HC: 45,31 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: DH

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_BC = 3,628 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Tweekrachtsstaaf BC

BC = √(3,5² + 2²) = 4,031 m

Heel raamwerk: momenten om A

De grond duwt in C op BC langs CB; zijn horizontale component gaat door A, alleen de verticale heeft een moment.

F_BC·(2/4,031)·5 = 15·0,6

F_BC = 3,628 kN (druk)

Antwoord

F_BC = 3,628 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 3,602 kN

Kabelhoek

BC = √(2,5² + 2²) = 3,202 m, sin β = 0,6247

Momenten om A

T·0,6247·2,5 = 2·2,5 + 0,5·1,25

T = 3,602 kN

Antwoord

T = 3,602 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 12 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 15·1 − 6·1·0,5 = 12 kN·m

Antwoord

M_x = 12 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: B (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 93,75 kN, R₂ = 81,25 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −62,5, M_D = −25, M_E = −7,5, M_F = −80, M_G = 0

Antwoord

Markering B: M_B = −120 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 96,16 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

lijf: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·295 + 4480·140)/11680 = 235,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·30³/12 + 7200·(295 − 235,5)² = 2,599 × 10⁷ mm⁴

lijf: 16·280³/12 + 4480·(140 − 235,5)² = 7,017 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,599 × 10⁷ + 7,017 × 10⁷ = 9,616 × 10⁷ mm⁴ = 96,16 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 96,16 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 327,5 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 3000 mm², y = 402 mm

lijf: A = 2960 mm², y = 207 mm

onderflens: A = 5060 mm², y = 11 mm

Zwaartepunt

ȳ = (3000·402 + 2960·207 + 5060·11)/11020 = 170,1 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 150·20³/12 + 3000·231,9² = 1,614 × 10⁸ mm⁴

lijf: 8·370³/12 + 2960·36,91² = 3,78 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 230·22³/12 + 5060·159,1² = 1,283 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,614 × 10⁸ + 3,78 × 10⁷ + 1,283 × 10⁸

I_x = 3,275 × 10⁸ mm⁴ = 327,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 327,5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics