Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (6, 2, −3) en b = (−1, −4, 1), in graden.

a = (6, 2, −3)b = (−1, −4, 1)

θ = °

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal de oppervlakte A van de driehoek met hoekpunten A(3, −1, 1), B(1, 3, −2) en C(3, 3, −2). Coördinaten zijn in meter.

A(3, −1, 1)B(1, 3, −2)C(3, 3, −2)

A = m²

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 5 mP₁ = 55 kN op 1 mP₂ = 10 kN op 2 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 1 m van A, onder een hoek van 45° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 4 m van A. Vind de hoek α tussen de totale reactiekracht in het scharnier A en de horizontaal.

L = 10 mP = 35 kN op 1 m, θ = 45°Q = 45 kN op 4 m

α = °

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 30 kN

F_AC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 10 kNhorizontale belasting = 10 kN →

F_BC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 3 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 2,5 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 1 m boven de grond. In C werkt een belasting van 2 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.

P = 2 kNAB = 3 mhoogte van C = 2,5 mhoogte van DE = 1 m

C = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 5 m uit elkaar, met de topscharnier C op 4,5 m hoogte en de horizontale trekstang DE 1,2 m boven de grond. Een verticale belasting van 8 kN werkt op poot AC in K, 1,25 m (horizontaal) van A. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.

P = 8 kNAB = 5 mhoogte van C = 4,5 mhoogte van DE = 1,2 mhorizontale afstand A tot K = 1,25 m

C = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 35 kN·m op x = 1,5 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mM₀ = 35 kN·m rechtsom, op 1,5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind de afstand x_c van A tot het momentennulpunt tussen de opleggingen (waar het buigend moment van teken wisselt).

L = 9 mw = 3 kN/m van 0 tot 9 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m

x_c = m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 100 mm × 200 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 60 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 120 mm breed en 12 mm dik, een totale hoogte van 220 mm en een lijf van 12 mm dik. Het draagt een buigend moment van 40 kN·m om de as x. Vind de grootte van de maximale buigspanning σ_max in de doorsnede.

B = 120 mmH = 220 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: θ = 124,9 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = 6·(−1) + 2·(−4) + (−3)·1 = −17

Groottes

|a| = √(6² + 2² + (−3)²) = 7

|b| = √((−1)² + (−4)² + 1²) = 4,243

Hoek

cos θ = −17/(7·4,243) = −0,5724

θ = arccos(−0,5724) = 124,9°

Antwoord

θ = 124,9°

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: A = 5 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Zijdevectoren

AB = B − A = (−2, 4, −3)

AC = C − A = (0, 4, −3)

Uitwendig product

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·(−3) − (−3)·4 = 0

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·0 − (−2)·(−3) = −6

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−2)·4 − 4·0 = −8

|AB × AC| = √(0² + (−6)² + (−8)²) = 10

Oppervlakte van de driehoek

A = ½·10 = 5 m²

Antwoord

A = 5 m²

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 50 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 10·2

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 15 = 50 kN

Antwoord

R_A = 50 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: α = 63,33 °

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Componenten van P

P_v = 35·sin 45° = 24,75 kN

P_h = 35·cos 45° = 24,75 kN

Reacties

ΣM_A = 0: R_B·10 = 24,75·1 + 45·4 → R_B = 20,47 kN

A_y = 24,75 + 45 − 20,47 = 49,27 kN

A_x = P_h = 24,75 kN

Richting in A

α = atan(A_y/A_x) = atan(49,27/24,75) = 63,33°

Antwoord

α = 63,33°

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 5,625 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22,5/0,9701 = −23,19 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−23,19)·0,2425 = 5,625 kN

Antwoord

F_AC = 5,625 kN (trek)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −13,46 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·1 + 10·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 5 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,3714 = −13,46 kN

Antwoord

F_BC = −13,46 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: C = 1,414 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Trekstangkracht uit poot BC

B_y = 1 kN

T = 1·1,5/1,5 = 1 kN

Componenten van de pennenkracht op BC

C_x = T = 1 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Grootte

C = √(1² + 1²) = 1,414 kN

Antwoord

C = 1,414 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: C = 2,509 kN

Oplegreactie in B

B_y = 8·1,25/5 = 2 kN

Trekstangkracht

T = 2·2,5/3,3 = 1,515 kN

Pennenkracht op BC

C_x = 1,515 kN, C_y = −2 kN

C = √(1,515² + 2²) = 2,509 kN

Antwoord

C = 2,509 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 21,88 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/4 = 8,75 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −8,75 kN (omlaag)

Snede net rechts van het koppel

Het linkerdeel bevat nu R_A en het koppel.

M_x = R_A·a + M₀ = −8,75·1,5 + 35 = 21,88 kN·m

Antwoord

M_x = 21,88 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x_c = 7,875 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·9 = 27 kN, aangrijpend op x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·9·4,5

R_B = 121,5/8 = 15,19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 15,19 = 11,81 kN

Moment nul

Tussen de opleggingen is M(x) = R_A·x − w·x²/2. Afgezien van x = 0 is het nul bij x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·11,81/3 = 7,875 m

Antwoord

x_c = 7,875 m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (20000·100 − 1963·60)/(20000 − 1963) = 104,4 mm

Volle plaat om ȳ

100·200³/12 + 20000·−4,354² = 67,05 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−44,35² = 4,17 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_max = 113,7 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 220 − 2·12 = 196 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·220³ − 108·196³)/12

I_x = 3,871 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

y = 110 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·110/3,871 × 10⁷ = 113,7 MPa

Antwoord

σ_max = 113,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics