Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (−1, −5, 3) en b = (−1, 2, −6), in graden.

a = (−1, −5, 3)b = (−1, 2, −6)

θ = °

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−4, −4, 4) als b = (2, 5, 5) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn y-component n̂_y.

a = (−4, −4, 4)b = (2, 5, 5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Hij draagt een puntlast P op 4,5 m van A en een linksdraaiend koppel M op 1,5 m van A. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

L = 5 mP = 55 kN op 4,5 mM = 60 kN·m (linksdraaiend) op 1,5 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 4 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 1,5 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 4 m tot het vrije uiteinde op 5 m. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

AB = 4 mAC = 5 mP = 55 kN op 1,5 mw = 8 kN/m van 4 tot 5 m

R_A = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 60 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 15 kN ↓D: 10 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓H: 40 kN ←

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 4 m uit elkaar, met de topscharnier C op 4 m hoogte en de horizontale trekstang DE 2 m boven de grond. Een verticale belasting van 12 kN werkt op poot AC in K, 0,5 m (horizontaal) van A. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.

P = 12 kNAB = 4 mhoogte van C = 4 mhoogte van DE = 2 mhorizontale afstand A tot K = 0,5 m

T = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,75 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 1,5 kN/m en een puntlast van 12 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht F_CD in de stut.

w = 1,5 kN/mP = 12 kNAD = 0,8 mAB = 2 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 25 kN op 4 mw = 4 kN/m van 0 tot 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 25 kN op 2 mw = 4 kN/m van 0 tot 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 140 mm breed met twee opstaande benen, 120 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 12 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b = 140 mmh = 120 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 60 MPa op trek en 120 MPa op druk. Vind het grootste opbuigende (hogging) moment M_allow dat de balk kan dragen (geef de grootte).

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: θ = 135,5 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = (−1)·(−1) + (−5)·2 + 3·(−6) = −27

Groottes

|a| = √((−1)² + (−5)² + 3²) = 5,916

|b| = √((−1)² + 2² + (−6)²) = 6,403

Hoek

cos θ = −27/(5,916·6,403) = −0,7128

θ = arccos(−0,7128) = 135,5°

Antwoord

θ = 135,5°

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_y = −0,5569

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·5 − 4·5 = −40

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·2 − (−4)·5 = 28

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·5 − (−4)·2 = −12

Normeren

De z-component van a × b is negatief, dus gebruik −(a × b).

|a × b| = √((−40)² + 28² + (−12)²) = 50,28

n̂ = −(−40, 28, −12)/50,28 = (0,7956, −0,5569, 0,2387)

n̂_y = −0,5569

Antwoord

n̂_y = −0,5569

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 17,5 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 55·4,5 + 60 = 0

R_B = 187,5/5 = 37,5 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 55 − 37,5 = 17,5 kN

Antwoord

R_A = 17,5 kN

Een negatieve reactie werkt omlaag.

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 33,38 kN

Resultante van de verdeelde belasting

W = 8·1 = 8 kN, x̄ = (4 + 5)/2 = 4,5 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1,5 + 8·4,5

R_B = 118,5/4 = 29,63 kN

R_A = 63 − 29,63 = 33,38 kN

Antwoord

R_A = 33,38 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −53,67 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 12 = 48 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −48/0,8944 = −53,67 kN

Antwoord

F_AB = −53,67 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 51,67 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 61,67 kN (T), FG: 91,67 kN (C), GH: 101,7 kN (C), AF: 114,6 kN (C), HE: 77,08 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 16,25 kN (T), BG: 22,92 kN (C), DG: 10,42 kN (C)

Antwoord

Nulstaaf: CG

7.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 1,5 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Heel raamwerk: momenten om A

B_y = 12·0,5/4 = 1,5 kN

Poot BC: momenten om C

1,5·2 = T·2

T = 1,5 kN

Antwoord

T = 1,5 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F_CD = 49,35 kN

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

w·L = 1,5·2 = 3 kN op 1 m

Momenten om A voor de balk

F_CD·0,6839·0,8 = 3·1 + 12·2 = 27 kN·m

F_CD = 49,35 kN

Antwoord

F_CD = 49,35 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −75 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −25·2,5 = −62,5 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_x = −62,5 − 12,5 = −75 kN·m

Antwoord

M_x = −75 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 9,75 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 4·4·2

R_B = 82/4 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 41 − 20,5 = 20,5 kN

Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 20,5·3,5 − 25·(3,5 − 2) − 4·3,5·1,75 = 9,75 kN·m

Antwoord

M_x = 9,75 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 6,209 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 140·12 = 1680 mm², y₁ = 6 mm

twee benen: A₂ = 2·12·108 = 2592 mm², y₂ = 12 + 108/2 = 66 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1680·6 + 2592·66)/4272 = 42,4 mm

Stelling van Steiner

basis: 140·12³/12 + 1680·(6 − 42,4)² = 2,247 × 10⁶ mm⁴

twee benen: 2·12·108³/12 + 2592·(66 − 42,4)² = 3,963 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,247 × 10⁶ + 3,963 × 10⁶

I_x = 6,209 × 10⁶ mm⁴ = 6,209 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 6,209 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 46,92 kN·m

Zwaartepunt

ȳ = (5500·312,5 + 4200·150)/9700 = 242,1 mm

bovenrand: c = 325 − 242,1 = 82,86 mm

Traagheidsmoment

I = 220·25³/12 + 5500·70,36² + 14·300³/12 + 4200·92,14² = 9,467 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Opbuigend: de bovenkant staat op trek, de onderkant op druk.

bovenrand: M = 60·9,467 × 10⁷/82,86 = 68,55 kN·m

onderrand: M = 120·9,467 × 10⁷/242,1 = 46,92 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 46,92 kN·m (onderrand)

Antwoord

M_allow = 46,92 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics