Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de scalaire projectie compb a van a = (−7, −4, 4) op b = (5, −1, −6), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.
a = (−7, −4, 4)b = (5, −1, −6)
compb a =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−4, 0, 5) als b = (3, 1, 5) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn y-component n̂y.
a = (−4, 0, 5)b = (3, 1, 5)n̂z > 0
n̂y =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w van de muur tot 5 m en een puntlast P op 7 m van de muur. Vind de verticale reactie RA bij de muur.
L = 10 mP = 80 kN op 7 mw = 5 kN/m van 0 tot 5 m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (2,5 m van A) en rust op een rol in D (6 m van A). Hij draagt een puntlast P op 4 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD en een puntlast Q op 2 m van A. Vind de reactie RD bij de rol.
AC = 2,5 mAD = 6 mP = 75 kN op 4 mw = 10 kN/m van 2,5 tot 6 mQ = 55 kN op 2 m
RD = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 60 kN
FAB = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 4 mhoogte = 4 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 30 kNhorizontale belasting = 15 kN →
FBC = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 4 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 4 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 0,8 m boven de grond. In C werkt een belasting van 6 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.
P = 6 kNAB = 4 mhoogte van C = 4 mhoogte van DE = 0,8 m
C = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 2 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van B naar het punt C op de muur, 1,5 m boven A. In B hangt een last van 8 kN. Bepaal de grootte van de penreactie A.
W = 8 kNWb = 2 kNAB = 3 mAC = 1,5 m
A = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 1 m vanaf A. Vind het buigend moment MA bij de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 4 mP = 75 kN op 1 mw = 4 kN/m van 0 tot 4 m
MA = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
50 kN @ 6 m30 kN @ 4 m8 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 100 mm breed en 14 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 8 mm dik. Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale zwaartepuntsas x.
B = 100 mmH = 460 mmtf = 14 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de buigspanning σonder aan de onderrand.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Inwendig product
a·b = (−7)·5 + (−4)·(−1) + 4·(−6) = −55
Lengte van b
|b| = √(5² + (−1)² + (−6)²) = 7,874
Scalaire projectie
compb a = a·b/|b| = −55/7,874 = −6,985
Antwoord
compb a = −6,985
Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: n̂y = −0,9837
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product
(a × b)x = aybz − azby = 0·5 − 5·1 = −5
(a × b)y = azbx − axbz = 5·3 − (−4)·5 = 35
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·1 − 0·3 = −4
Normeren
De z-component van a × b is negatief, dus gebruik −(a × b).
Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie RA en een inklemmingsmoment MA. ΣFy = 0 geeft RA, en momenten om de muur geven MA = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.
Resultante van de verdeelde belasting
W = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2,5 m
Verticaal evenwicht
RA = P + W = 80 + 25 = 105 kN
Antwoord
RA = 105 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RD = 49,64 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.
Deel CD
Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.
W = 10·3,5 = 35 kN op 1,75 m vanaf C
ΣMC = 0: RD·3,5 = 75·1,5 + 35·1,75
RD = 49,64 kN
VC = 110 − 49,64 = 60,36 kN
Antwoord
RD = 49,64 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FAB = −50,6 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 12 = 48 kN
Knoop A
Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.
sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −48/0,9487 = −50,6 kN
Antwoord
FAB = −50,6 kN (druk)
6.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FBC = −28,13 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 + 15·4 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Trekstangkracht uit poot BC
By = 3 kN
T = 3·2/3,2 = 1,875 kN
Componenten van de pennenkracht op BC
Cx = T = 1,875 kN, Cy = −By = −3 kN
Grootte
C = √(1,875² + 3²) = 3,538 kN
Antwoord
C = 3,538 kN
8.Raamwerken en machines
Antwoord: A = 18,03 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Kabelspanning
T = (8 + 2/2)/0,4472 = 20,12 kN
Componenten in A
Ax = T·cos β = 18 kN
Ay = 8 + 2 − T·sin β = 1 kN
Grootte
A = √(18² + 1²) = 18,03 kN
Antwoord
A = 18,03 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: MA = −107 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Houd het deel met het vrije uiteinde over
P: −75·1 = −75 kN·m
w: −4·4²/2 = −32 kN·m
MA = −75 − 32 = −107 kN·m
Antwoord
MA = −107 kN·m
Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: F (x = 5 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 16 kN, R2 = 104 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = 12, MC = 16, MD = 12, ME = 0, MF = −50 kN·m, MG = 0
Antwoord
Markering F: MF = −50 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 193 × 10⁶ mm⁴
Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = Ic + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.
Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten
Beide uitsparingen samen zijn (B − tw) breed en hw = H − 2tf hoog, en hebben de as x gemeen.
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm