Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (0, 2, 6) en b = (−1, 5, 6), in graden.

a = (0, 2, 6)b = (−1, 5, 6)

θ = °

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−4, 4, 3) als b = (−3, 2, −3) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn y-component n̂_y.

a = (−4, 4, 3)b = (−3, 2, −3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 10 mP₁ = 10 kN op 4 mP₂ = 40 kN op 9 m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 8 mP = 50 kN op 7 mw = 3 kN/m van 2 tot 7 m

R_A = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 3 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 30 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 45 kNhorizontale belasting = 5 kN ←

F_BC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Een horizontale balk AB is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt gesteund door de stut CD, die in C, 0,8 m onder A, scharnierend aan de muur zit. In B hangt een last van 2 kN. Verwaarloos de gewichten. Bepaal de grootte van de pennenkracht A op de balk in A.

P = 2 kNAD = 1,2 mAB = 3,6 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 5 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 3 m hoog, en worden verbonden door de horizontale staaf DE op 1,5 m. In C werkt een horizontale kracht van 4 kN naar rechts. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.

P = 4 kNAB = 5 mhoogte van C = 3 mhoogte van DE = 1,5 m

T = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

15 kN @ 4 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 4 mw = 10 kN/m van 1 tot 4 m

M_max = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 260 mm breed met twee opstaande benen, 170 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 18 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 260 mmh = 170 mmt = 18 mm

ȳ = mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 140 × 20 mm, een lijf van 280 mm hoog en 10 mm dik, en een onderflens van 220 × 18 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 140 × 20 mmlijf: 10 × 280 mmonderflens: 220 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: θ = 22,53 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = 0·(−1) + 2·5 + 6·6 = 46

Groottes

|a| = √(0² + 2² + 6²) = 6,325

|b| = √((−1)² + 5² + 6²) = 7,874

Hoek

cos θ = 46/(6,325·7,874) = 0,9237

θ = arccos(0,9237) = 22,53°

Antwoord

θ = 22,53°

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_y = −0,7514

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−3) − 3·2 = −18

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−3) − (−4)·(−3) = −21

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·2 − 4·(−3) = 4

Normeren

De z-component van a × b is al positief.

|a × b| = √((−18)² + (−21)² + 4²) = 27,95

n̂ = (−18, −21, 4)/27,95 = (−0,6441, −0,7514, 0,1431)

n̂_y = −0,7514

Antwoord

n̂_y = −0,7514

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 40 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·4 + 40·9

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 40 = 10 kN

Antwoord

R_B = 40 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 12,81 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, aangrijpend op x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·7 + 3·5·4,5

R_B = 417,5/8 = 52,19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 52,19 = 12,81 kN

Antwoord

R_A = 12,81 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −16,67 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 10 = 20 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,6 = −16,67 kN

Antwoord

F_BC = −16,67 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −15,93 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·1 − 5·2 → C_y = 4,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 4,375 = 40,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −4,375/0,2747 = −15,93 kN

Antwoord

F_BC = −15,93 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: A = 9,849 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Stutkracht

F_CD = 2·3,6/(0,5547·1,2) = 10,82 kN

Componenten in A

A_x = F_CD·cos α = 9 kN (naar de muur toe)

A_y = 2 − F_CD·sin α = −4 kN

Grootte

A = √(9² + −4²) = 9,849 kN

Antwoord

A = 9,849 kN

Een negatieve A_y betekent dat de muur de balk in A omlaag trekt.

8.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 4 kN

Heel raamwerk: momenten om A

B_y·5 = 4·3

B_y = 2,4 kN

Poot BC: momenten om C

2,4·2,5 = T·1,5

T = 4 kN

Antwoord

T = 4 kN

Een positieve T betekent dat de trekstang op trek staat, zoals aangenomen.

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 18,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 21,67, M_C = 43,33 kN·m, M_D = 40, M_E = 36,67, M_F = 18,33, M_G = 0

Antwoord

Markering C: M_C = 43,33 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 17,58 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3·2,5

R_B = 75/4 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 11,25/10 = 2,125 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 11,25·2,125 − 10·1,125²/2 = 17,58 kN·m

Antwoord

M_max = 17,58 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 54,82 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 260·18 = 4680 mm², y₁ = 9 mm

twee benen: A₂ = 2·18·152 = 5472 mm², y₂ = 18 + 152/2 = 94 mm

Zwaartepunt

ȳ = (4680·9 + 5472·94)/10152 = 54,82 mm

Antwoord

ȳ = 54,82 mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 166,4 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 2800 mm², y = 308 mm

lijf: A = 2800 mm², y = 158 mm

onderflens: A = 3960 mm², y = 9 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2800·308 + 2800·158 + 3960·9)/9560 = 140,2 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 140·20³/12 + 2800·167,8² = 7,892 × 10⁷ mm⁴

lijf: 10·280³/12 + 2800·17,79² = 1,918 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 220·18³/12 + 3960·131,2² = 6,829 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,892 × 10⁷ + 1,918 × 10⁷ + 6,829 × 10⁷

I_x = 1,664 × 10⁸ mm⁴ = 166,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 166,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics