Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (5, 0, −2) en b = (0, −5, 5), in graden.
a = (5, 0, −2)b = (0, −5, 5)
θ = °
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal het volume V van het parallellepipedum waarvan de ribben vanuit één hoekpunt a = (−5, 5, −4), b = (−4, −3, 5) en c = (1, 5, 2) zijn.
a = (−5, 5, −4)b = (−4, −3, 5)c = (1, 5, 2)
V =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die afloopt van 10 kN/m in A tot nul in B. Op 3 m van A werkt ook een puntlast P. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 4 mw0 = 10 kN/mP = 40 kN op 3 m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (2,5 m van A) en rust op een rol in D (6 m van A). Hij draagt een puntlast P op 5 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD. Vind de reactie RD bij de rol.
AC = 2,5 mAD = 6 mP = 80 kN op 5 mw = 5 kN/m van 2,5 tot 6 m
RD = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
B: 35 kN ↓F: 10 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
B: 30 kN ↓D: 20 kN ↓H: 30 kN ←
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Een horizontale balk AB is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt gesteund door de stut CD, die in C, 0,75 m onder A, scharnierend aan de muur zit. In B hangt een last van 8 kN. Verwaarloos de gewichten. Bepaal de grootte van de pennenkracht A op de balk in A.
P = 8 kNAD = 1,5 mAB = 2,5 mAC = 0,75 m
A = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 200 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 10 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 1500 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.
Q = 1500 NAB = BC = 200 mmh = 10 mm
F = N
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4 m vanaf A. Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 3 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 5 mP = 10 kN op 4 mw = 10 kN/m van 0 tot 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
50 kN @ 0 m55 kN @ 12 m30 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 150 × 12 mm, een lijf van 190 mm hoog en 8 mm dik, en een onderflens van 200 × 10 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale as x door het zwaartepunt.
Inwendig product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, een scalar. Het geeft de hoek tussen twee vectoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), en het is nul als ze loodrecht op elkaar staan. De scalaire projectie van a op b is a·b/|b|, en een constante kracht F die over een verplaatsing d werkt, verricht arbeid W = F·d.
Inwendig product
a·b = 5·0 + 0·(−5) + (−2)·5 = −10
Groottes
|a| = √(5² + 0² + (−2)²) = 5,385
|b| = √(0² + (−5)² + 5²) = 7,071
Hoek
cos θ = −10/(5,385·7,071) = −0,2626
θ = arccos(−0,2626) = 105,2°
Antwoord
θ = 105,2°
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: V = 288
Uitwendig product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) staat loodrecht op beide vectoren, en |a × b| = |a|·|b|·sin θ is de oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen (de driehoek is de helft daarvan). De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die op punt A werkt, om punt O is MO = r × F, met r = A − O.
Uitwendig product b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·2 − 5·5 = −31
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·1 − (−4)·2 = 13
(b × c)z = bxcy − bycx = (−4)·5 − (−3)·1 = −17
Inwendig product met a
a·(b × c) = (−5)·(−31) + 5·13 + (−4)·(−17) = 288
V = |288| = 288
Antwoord
V = 288
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 23,33 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Resultante van de driehoeksbelasting
W = ½·10·4 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1,333 + 40·3
RB = 36,67 kN
RA = 60 − 36,67 = 23,33 kN
Antwoord
RA = 23,33 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RD = 65,89 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.
Deel CD
Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.
W = 5·3,5 = 17,5 kN op 1,75 m vanaf C
ΣMC = 0: RD·3,5 = 80·2,5 + 17,5·1,75
RD = 65,89 kN
VC = 97,5 − 65,89 = 31,61 kN
Antwoord
RD = 65,89 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf CG
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Stutkracht
FCD = 8·2,5/(0,4472·1,5) = 29,81 kN
Componenten in A
Ax = FCD·cos α = 26,67 kN (naar de muur toe)
Ay = 8 − FCD·sin α = −5,333 kN
Grootte
A = √(26,67² + −5,333²) = 27,19 kN
Antwoord
A = 27,19 kN
Een negatieve Ay betekent dat de muur de balk in A omlaag trekt.
8.Raamwerken en machines
Antwoord: F = 150,2 N
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Schakelhoek
sin θ = 10/200 = 0,05, θ = 2,866°
Schakelkracht
Flink = Q/cos θ = 1502 N
Kracht in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 150,2 N
Antwoord
F = 150,2 N
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = −30 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Houd het deel met het vrije uiteinde over
P: −10·1 = −10 kN·m
w: −10·2²/2 = −20 kN·m
Mx = −10 − 20 = −30 kN·m
Antwoord
Mx = −30 kN·m
Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: E (x = 8 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 50 kN, R2 = 85 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = −100, MC = −100, MD = −160, ME = −220 kN·m, MF = −110, MG = 0
Antwoord
Markering E: ME = −220 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 58,79 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 180·15 = 2700 mm², yf = 260 + 15/2 = 267,5 mm
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in drie rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
bovenflens: A = 1800 mm², y = 206 mm
lijf: A = 1520 mm², y = 105 mm
onderflens: A = 2000 mm², y = 5 mm
Zwaartepunt
ȳ = (1800·206 + 1520·105 + 2000·5)/5320 = 101,6 mm