Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 33, 56, 33, 33, 58, 38, 47.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 46?

μ = 70σ = 12x = 46

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,7109 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,7109

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 5% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten5%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 14,5 en standaardafwijking s = 18. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 16x̄ = 14,5s = 1895%t(15) = 2,131

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 30. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 30E = 0,595%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 40 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 88,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 13 mm. Lijn 2: een steekproef van 50 onderdelen heeft gemiddelde 83,2 mm, bekende standaardafwijking 4 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 40x̄₁ = 88,5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 50x̄₂ = 83,2 mmσ₂ = 4 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 5E = 299%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 135Σy = 700Σx² = 3195Σy² = 87164Σxy = 16674

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 11,06

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 298/7 = 42,57

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−9,571)² + 13,43² + (−9,571)² + (−9,571)² + 15,43² + (−4,571)² + 4,429² = 733,7

Standaardafwijking

s = √(733,7/6) = 11,06

Antwoord

s = 11,06

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,02275

Standaardiseren

z = −2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,347

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,3 = 1,45

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,3 = 3,45

Variantie

Var(X) = 3,45 − 1,45² = 1,347

Antwoord

Var(X) = 1,347

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,07054

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,6⁹ = 0,01008

P(X = 1) = 9·0,4·0,6⁸ = 0,06047

Tel ze op

P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054

Antwoord

P = 0,07054

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,06

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,7109)/2 = 0,8554

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,8554 in de tabel en lees z af.

z = 1,06

Antwoord

z = 1,06

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 124,6 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,95

z uit de tabel

z ≈ 1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 punten

Antwoord

x = 124,6 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 9,589

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Foutmarge

E = 2,131·18/√16 = 9,589

Antwoord

E = 9,589

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 13830

n oplossen

n = (1,96·30/0,5)² = 13830

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 13830

Antwoord

n = 13830

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 2,486

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(13²/40 + 4²/50) = √4,545 = 2,132

Toetsingsgrootheid

z = (88,5 − 83,2)/2,132 = 2,486

Antwoord

z = 2,486

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 42

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·5/2)² = 41,47

Naar boven afronden

n = 42

Antwoord

n = 42

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,993

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 16674 − 135·700/6 = 924

S_xx = 3195 − 135²/6 = 157,5

S_yy = 87164 − 700²/6 = 5497

Correlatiecoëfficiënt

r = 924/√(157,5·5497) = 0,993

Antwoord

r = 0,993

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 19,77

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 108/6 = 18

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Regressielijn

b = −31/17,5 = −1,771

a = 18 − (−1,771)·3,5 = 24,2

ŷ = 24,2 − 1,771·x

Voorspelling

ŷ = 24,2 + (−1,771)·2,5 = 19,77

Antwoord

ŷ = 19,77

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1