Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 10, 49, 53, 51, 58, 25, 57.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 70?

μ = 50σ = 20x = 70

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,2

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X + 10. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35Y = 10X + 10

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 490 en 550 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 550

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 15% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 85 en standaardafwijking s = 10,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 13x̄ = 85s = 10,599%t(12) = 3,055

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 30 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 5,4 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 29 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 16,047 en 2,5% boven 45,722.

n = 30s = 5,4 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 50 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 3. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 51,05. Toets H₀: μ = 50 tegen H₁: μ ≠ 50. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 50σ = 3n = 36x̄ = 51,05H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 10. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 10E = 1,590%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 16?

n = 6ŷ = 16

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,41

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 303/7 = 43,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−33,29)² + 5,714² + 9,714² + 7,714² + 14,71² + (−18,29)² + 13,71² = 2033

Standaardafwijking

s = √(2033/6) = 18,41

Antwoord

s = 18,41

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1587

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 10,23

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,2 + 20·0,25 + 30·0,35 + 40·0,2 = 25,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,25 + 900·0,35 + 1600·0,2 = 755

Variantie

Var(X) = 755 − 25,5² = 104,8

σ = √104,8 = 10,23

Antwoord

σ = 10,23

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 24

Spreiding van X

μ = 3,2, Var(X) = 5,76, σ_X = 2,4

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·2,4 = 24

Antwoord

σ_Y = 24

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·3,2 + 10 = 42.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,4931

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25

z₂ = (550 − 500)/40 = 1,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,25) − Φ(−0,25) = 0,8944 − 0,4013 = 0,4931

Antwoord

P = 0,4931

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 255,2 g

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,85

z uit de tabel

z ≈ 1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Antwoord

x = 255,2 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 76,1

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Foutmarge

E = 3,055·10,5/√13 = 8,897

Interval

85 ± 8,897 → [76,1, 93,9]

Antwoord

ondergrens = 76,1

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 4,301 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 29·5,4² = 845,6

Grenzen voor σ²

845,6/45,722 = 18,5

845,6/16,047 = 52,7

Grens voor σ

σ = √18,5 = 4,301 µm

Antwoord

σ = 4,301 µm

95%-interval voor σ: [4,301, 7,259] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,03573

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5

z = (51,05 − 50)/0,5 = 2,1

Staartoppervlakte

Φ(2,1) = 0,9821

1 − Φ(2,1) = 0,0179

p-waarde

p = 2·0,0179 = 0,03573

Antwoord

p = 0,03573

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 121

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Naar boven afronden

n = 121

Antwoord

n = 121

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9328

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 312/6 = 52

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 83

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 422

Determinatiecoëfficiënt

r² = 83²/(17,5·422) = 0,9328

Antwoord

r² = 0,9328

Ongeveer 93,28% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 2,548

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 80/6 = 13,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49

Regressielijn

b = −49/17,5 = −2,8

a = 13,33 − (−2,8)·3,5 = 23,13

ŷ = 23,13 − 2,8·x

Los op naar x

x = (16 − 23,13)/(−2,8) = 2,548

Antwoord

x = 2,548

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1