Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 58, 28, 56, 21, 37, 18.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 85?

μ = 100σ = 15x = 85

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 3

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?

n = 12p = 0,1k = 2

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van zakken cement zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 kg en standaardafwijking 0,5 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 12 ervan kleiner is dan 300,9 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12< 300.9 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).

μ = 65σ = 10P = 20%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 62,5 en standaardafwijking s = 5,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 16x̄ = 62,5s = 5,595%t(15) = 2,131

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 5. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?

σ = 5E = 190%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 73,17 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,17s = 5n = 36

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 117,5. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 117,5σ = 15n = 8195%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (1,5, 18) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 18)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,31

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 218/6 = 36,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 21,67² + (−8,333)² + 19,67² + (−15,33)² + 0,6667² + (−18,33)² = 1497

Standaardafwijking

s = √(1497/5) = 17,31

Antwoord

s = 17,31

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8413

Standaardiseren

z = −1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

3.Kansrekening

Antwoord: N = 56

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

Antwoord

N = 56

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2301

Binomiale formule

P(X = 2) = 66·0,1²·0,9¹⁰ = 66·0,01·0,3487 = 0,2301

Antwoord

P = 0,2301

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6985

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Standaardiseren

z = (300,9 − 300)/1,732 = 0,52

Kansrekening

P = Φ(0,52) = 0,6985

Antwoord

P = 0,6985

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 56,58 punten

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Terug naar x

x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 punten

Antwoord

x = 56,58 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 65,43

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Foutmarge

E = 2,131·5,5/√16 = 2,93

Interval

62,5 ± 2,93 → [59,57, 65,43]

Antwoord

bovengrens = 65,43

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 68

n oplossen

n = (1,645·5/1)² = 67,65

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 68

Antwoord

n = 68

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,196

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Toetsingsgrootheid

t = (73,17 − 75)/0,8333 = −2,196

Antwoord

t = −2,196

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 120,8

Foutmarge

E = 1,96·15/√81 = 3,267

Intervalgrens

U = 117,5 + 3,267 = 120,8

Antwoord

U = 120,8

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9974

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 142/6 = 23,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 609,3

Correlatiecoëfficiënt

r = 206/√(70·609,3) = 0,9974

Antwoord

r = 0,9974

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −3,85

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 92/5 = 18,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

Regressielijn

b = −23/10 = −2,3

a = 18,4 − (−2,3)·3 = 25,3

ŷ = 25,3 − 2,3·x

Voorspelde waarde

ŷ = 25,3 + (−2,3)·1,5 = 21,85

Residu

e = 18 − 21,85 = −3,85

Antwoord

e = −3,85

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1