Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 15, 13, 25, 23.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 66.

μ = 50σ = 8x = 66

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,3, 0,2, 0,2

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €3 inzet. Je wint €9 met kans 0,3 en €30 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €3€9: p = 0,3€30: p = 0,02

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 30,8 min. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30,8 min

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 85% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 11 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 7 en standaardafwijking 1,7. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 11d̄ = 7s_d = 1,799%t(10) = 3,169

E = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 37. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?

σ = 37E = 199%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

9 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −3,14 en de standaardafwijking van de verschillen is 4,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 9d̄ = −3,14s_d = 4,1

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ < 80 wordt uitgevoerd bij α = 0.01 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 15. In werkelijkheid is het gemiddelde 70.75. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 80μ = 70,75σ = 15n = 36α = 0,01

β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,91

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 114/5 = 22,8

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 15,2² + (−7,8)² + (−9,8)² + 2,2² + 0,2² = 392,8

Standaardafwijking

s = √(392,8/4) = 9,91

Antwoord

s = 9,91

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 2

Standaardiseren

z = (66 − 50)/8 = 2

Antwoord

z = 2

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 121

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,3 + 20·0,3 + 30·0,2 + 40·0,2 = 23

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,3 + 900·0,2 + 1600·0,2 = 650

Variantie

Var(X) = 650 − 23² = 121

Antwoord

Var(X) = 121

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 0,3 €

Netto-uitkomsten

G: 6 (p = 0,3), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)

Verwachtingswaarde

E(G) = 6·0,3 + 27·0,02 − 3·0,68 = 0,3 €

Antwoord

E(G) = 0,3 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6844

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaardiseren

z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48

Rechterstaart

P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844

Antwoord

P = 0,6844

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 185,3 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,85

z uit de tabel

z ≈ 1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Antwoord

x = 185,3 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 1,624 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 10, t = 3,169

Foutmarge

E = 3,169·1,7/√11 = 1,624

Antwoord

E = 1,624 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 9085

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·37/1)² = 9084

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 9085

Antwoord

n = 9085

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,298

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 4,1/√9 = 1,367

Toetsingsgrootheid

t = −3,14/1,367 = −2,298

Antwoord

t = −2,298

Bij df = 8 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,306; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 8,472 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 80 − 2,326·2,5 = 74,19

z onder het ware gemiddelde

z = (74,19 − 70,75)/2,5 = 1,374

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z < 1.374) = 91.53%

β = 100% − 91,53% = 8,472%

Antwoord

β = 8,472%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9013

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 358/5 = 71,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 315

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1223

Determinatiecoëfficiënt

r² = 315²/(90·1223) = 0,9013

Antwoord

r² = 0,9013

Ongeveer 90,13% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 9,652

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 79/6 = 13,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 123

Regressielijn

b = 123/70 = 1,757

a = 13,17 − 1,757·7 = 0,8667

ŷ = 0,8667 + 1,757·x

Voorspelling

ŷ = 0,8667 + 1,757·5 = 9,652

Antwoord

ŷ = 9,652

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1