Beschrijvende statistiek
- Gemiddelde
- x̄ = Σx/n
- Steekproefstandaardafwijking
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediaan
- middelste waarde van de gesorteerde gegevens
- z-score
- z = (x − μ)/σ
- Normale verdeling
- 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ
Inleiding statistiek: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Kansrekening
- Complement
- P(not A) = 1 − P(A)
- Somregel
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Onafhankelijke gebeurtenissen
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Voorwaardelijke kans
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiaal
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normale verdeling
- z-score
- z = (x − μ)/σ
- Onder x
- P(X < x) = Φ(z)
- Boven x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tussen
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentiel
- x = μ + z·σ
Methode
- Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
- Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
- Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
- Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.
Betrouwbaarheidsintervallen
- σ bekend
- x̄ ± z·σ/√n
- σ onbekend
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritieke z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Steekproefomvang
- n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
- Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
- Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
- Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
- Interval: x̄ ± E.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
- z-toets voor een gemiddelde
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-toets voor een gemiddelde
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Tweezijdig bij 5%
- verwerp H0 als |z| > 1,96
- Betrouwbaarheidsinterval
- x̄ ± z·σ/√n
Methode
- Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
- Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
- Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
- Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
Lineaire regressie en correlatie
- Kwadratensommen
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Helling
- b = Sxy/Sxx
- Snijpunt met de y-as
- a = ȳ − b·x̄
- Correlatie
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Oefenopgaven
1.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 17, 60, 41, 52, 23, 59, 51.
n = 7
s =
2.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 40. Welk deel P van de waarden ligt onder 560?
μ = 500σ = 40x = 560
P =
3.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,15, 0,35
σ =
4.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 7p = 0,5k = 1
P =
5.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 735,2 g. Rond z af op twee decimalen.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 735,2 g
P =
6.Normale verdelingMoeilijk
De rondetijd X van loper A en de rondetijd Y van loper B zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 52 s en standaardafwijking 4 s, Y heeft gemiddelde 48 s en standaardafwijking 3 s. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 57 en standaardafwijking s = 12,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 20x̄ = 57s = 12,595%t(19) = 2,093
ondergrens =
8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 6 proefvelden, gemiddelde opbrengst 18 kg, standaardafwijking 1,5 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 6 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
n₁ = 6x̄₁ = 18s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 6s₂ = 3,595%t(10) = 2,228
bovengrens = kg
9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 100 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 89,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 6 mm. Lijn 2: een steekproef van 80 onderdelen heeft gemiddelde 95,1 mm, bekende standaardafwijking 20 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
n₁ = 100x̄₁ = 89,5 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 80x̄₂ = 95,1 mmσ₂ = 20 mm
z =
10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 50 tegen H₁: μ > 50 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 20. In werkelijkheid is het gemiddelde 56,75. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 50μ = 56,75σ = 20n = 64α = 0,01
1 − β = %
11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 33Σy = 310Σx² = 199Σy² = 16334Σxy = 1778
r =
12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 66?
n = 5ŷ = 66
x =
3Oplossingen
1.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 17,17
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Gemiddelde
x̄ = 303/7 = 43,29
Gekwadrateerde afwijkingen
Σ(x − x̄)² = (−26,29)² + 16,71² + (−2,286)² + 8,714² + (−20,29)² + 15,71² + 7,714² = 1769
Standaardafwijking
s = √(1769/6) = 17,17
Antwoord
s = 17,17
2.Beschrijvende statistiek
Antwoord: P = 0,9332
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
3.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,1
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,35 = 1,7
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,35 = 4,1
Variantie
Var(X) = 4,1 − 1,7² = 1,21
σ = √1,21 = 1,1
Antwoord
σ = 1,1
4.Kansrekening
Antwoord: P = 0,05469
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 1) = 7·0,51·0,56 = 7·0,5·0,01563 = 0,05469
Antwoord
P = 0,05469
5.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9332
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaardiseren
z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
6.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7881
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standaardiseren
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Antwoord
P = 0,7881
7.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 51,15
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Foutmarge
E = 2,093·12,5/√20 = 5,85
Interval
57 ± 5,85 → [51,15, 62,85]
Antwoord
ondergrens = 51,15
8.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 15,46 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (5·1,5² + 5·3,5²)/10 = 7,25
sp = 2,693
Foutmarge
E = 2,228·2,693·√(1/6 + 1/6) = 3,464
Interval
12 ± 3,464 → [8,536, 15,46]
Antwoord
bovengrens = 15,46 kg
9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −2,419
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(6²/100 + 20²/80) = √5,36 = 2,315
Toetsingsgrootheid
z = (89,5 − 95,1)/2,315 = −2,419
Antwoord
z = −2,419
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 64,58 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 50 + 2,326·2,5 = 55,81
z onder het ware gemiddelde
z = (55,81 − 56,75)/2,5 = −0,374
Vermogen
onderscheidend vermogen = P(Z > −0,374) = 64,58%
1 − β = 64,58%
Antwoord
1 − β = 64,58%
11.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9796
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1778 − 33·310/6 = 73
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 16334 − 310²/6 = 317,3
Correlatiecoëfficiënt
r = 73/√(17,5·317,3) = 0,9796
Antwoord
r = 0,9796
12.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 15,51
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 464/5 = 92,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 537
Regressielijn
b = 537/90 = 5,967
a = 92,8 − 5,967·20 = −26,53
ŷ = −26,53 + 5,967·x
Los op naar x
x = (66 − (−26,53))/5,967 = 15,51
Antwoord
x = 15,51
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1