Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 47, 54, 54, 32, 48, 58, 27.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 52,5?

μ = 60σ = 15x = 52,5

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,05, 0,2, 0,3, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 8 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,7. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 8p = 0,7

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 735,2 g. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 735,2 g

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 90% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 45,5 h, bekende standaardafwijking 9 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 53 h, bekende standaardafwijking 17 h. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 45,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 53 hσ₂ = 17 h90%

ondergrens = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 30 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 2,7 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 29 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 16,047 en 2,5% boven 45,722.

n = 30s = 2,7 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 100,9 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,9s = 5n = 16

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 4 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 11. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 4σ = 11z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 11,79

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 320/7 = 45,71

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 1,286² + 8,286² + 8,286² + (−13,71)² + 2,286² + 12,29² + (−18,71)² = 833,4

Standaardafwijking

s = √(833,4/6) = 11,79

Antwoord

s = 11,79

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,3085

Standaardiseren

z = −0,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Antwoord

P = 0,3085

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,424

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,2 + 1·0,05 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,35

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,05 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,55

Variantie

Var(X) = 7,55 − 2,35² = 2,028

σ = √2,028 = 1,424

Antwoord

σ = 1,424

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,00129

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,3⁸ = 6,561 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 8·0,7·0,3⁷ = 0,001225

Tel ze op

P = 6,561 × 10⁻⁵ + 0,001225 = 0,00129

Antwoord

P = 0,00129

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9332

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaardiseren

z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5

Rechterstaart

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 187 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,9

z uit de tabel

z ≈ 1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Antwoord

x = 187 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −12,32 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 45,5 − 53 = −7,5

Standaardfout

SE = √(9²/60 + 17²/40) = 2,928

Foutmarge

E = 1,645·2,928 = 4,817

Interval

−7,5 ± 4,817 → [−12,32, −2,683]

Antwoord

ondergrens = −12,32 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 3,63 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 29·2,7² = 211,4

Grenzen voor σ²

211,4/45,722 = 4,624

211,4/16,047 = 13,17

Grens voor σ

σ = √13,17 = 3,63 µm

Antwoord

σ = 3,63 µm

95%-interval voor σ: [2,15, 3,63] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,72

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Toetsingsgrootheid

t = (100,9 − 100)/1,25 = 0,72

Antwoord

t = 0,72

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 47

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·11/4)² = 46,78

Naar boven afronden

n = 47

Antwoord

n = 47

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,967

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 287/5 = 57,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 289,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 52/√(10·289,2) = 0,967

Antwoord

r = 0,967

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 16,15

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 59/5 = 11,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

Regressielijn

b = 58/40 = 1,45

a = 11,8 − 1,45·6 = 3,1

ŷ = 3,1 + 1,45·x

Voorspelling

ŷ = 3,1 + 1,45·9 = 16,15

Antwoord

ŷ = 16,15

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1