Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 13, 17, 44, 30, 24, 39, 57.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 90?

μ = 60σ = 20x = 90

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 13? De volgorde doet er niet toe.

n = 13k = 4

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 11p = 0,3k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 240,25 en 257,75 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 240,25x₂ = 257,75

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 83,5 en standaardafwijking s = 5,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 20x̄ = 83,5s = 5,595%t(19) = 2,093

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 25 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 3,7 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 24 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 12,401 en 2,5% boven 39,364.

n = 25s = 3,7 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 51,68 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,68s = 12n = 25

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 3 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 22. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 80%δ = 3σ = 22z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 205Σx² = 220Σy² = 8669Σxy = 1330

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 86?

n = 6ŷ = 86

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,66

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 224/7 = 32

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−19)² + (−15)² + 12² + (−2)² + (−8)² + 7² + 25² = 1472

Standaardafwijking

s = √(1472/6) = 15,66

Antwoord

s = 15,66

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,06681

Standaardiseren

z = 1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

3.Kansrekening

Antwoord: N = 715

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715

Antwoord

N = 715

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,09322

Binomiale formule

P(X = 1) = 11·0,3¹·0,7¹⁰ = 11·0,3·0,02825 = 0,09322

Antwoord

P = 0,09322

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9138

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (240,25 − 250)/5 = −1,95

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,55) − Φ(−1,95) = 0,9394 − 0,02559 = 0,9138

Antwoord

P = 0,9138

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7389

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaardiseren

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Antwoord

P = 0,7389

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 2,574

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Foutmarge

E = 2,093·5,5/√20 = 2,574

Antwoord

E = 2,574

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 2,889 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 24·3,7² = 328,6

Grenzen voor σ²

328,6/39,364 = 8,347

328,6/12,401 = 26,49

Grens voor σ

σ = √8,347 = 2,889 µm

Antwoord

σ = 2,889 µm

95%-interval voor σ: [2,889, 5,147] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Toetsingsgrootheid

t = (51,68 − 50)/2,4 = 0,7

Antwoord

t = 0,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 540

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 0,842)·22/3)² = 539,7

Naar boven afronden

n = 540

Antwoord

n = 540

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9731

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1330 − 30·205/5 = 100

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 8669 − 205²/5 = 264

Correlatiecoëfficiënt

r = 100/√(40·264) = 0,9731

Antwoord

r = 0,9731

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 8,132

Gemiddelden

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 511/6 = 85,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 441

Regressielijn

b = 441/70 = 6,3

a = 85,17 − 6,3·8 = 34,77

ŷ = 34,77 + 6,3·x

Los op naar x

x = (86 − 34,77)/6,3 = 8,132

Antwoord

x = 8,132

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1