Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 38, 13, 12, 60, 41, 55.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 60. Bereken de z-score z van een score van 380.

μ = 500σ = 60x = 380

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,25, 0,1

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?

n = 12p = 0,5k = 3

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,3783 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,3783

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 65,5 en standaardafwijking s = 1,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 20x̄ = 65,5s = 1,595%t(19) = 2,093

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 26. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?

σ = 26E = 1,590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 15. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 93,94. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ < 100. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 100σ = 15n = 25x̄ = 93,94H₁: μ < μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ < 100 wordt uitgevoerd bij α = 0.01 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 20. In werkelijkheid is het gemiddelde 91. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 100μ = 91σ = 20n = 64α = 0,01

β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (5, 13) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(5, 13)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 19,47

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 240/7 = 34,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−13,29)² + 3,714² + (−21,29)² + (−22,29)² + 25,71² + 6,714² + 20,71² = 2275

Standaardafwijking

s = √(2275/6) = 19,47

Antwoord

s = 19,47

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −2

Standaardiseren

z = (380 − 500)/60 = −2

Antwoord

z = −2

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,76

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,25 + 4·0,1 = 1,8

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,25 + 16·0,1 = 5

Variantie

Var(X) = 5 − 1,8² = 1,76

Antwoord

Var(X) = 1,76

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,05371

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 3) = 220·0,5³·0,5⁹ = 220·0,125·0,001953 = 0,05371

Antwoord

P = 0,05371

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,31

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,3783 = 0,6217

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6217 in de tabel en lees z af.

z = 0,31

Antwoord

z = 0,31

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9207

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Antwoord

P = 0,9207

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 64,8

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Foutmarge

E = 2,093·1,5/√20 = 0,702

Interval

65,5 ± 0,702 → [64,8, 66,2]

Antwoord

ondergrens = 64,8

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 814

n oplossen

n = (1,645·26/1,5)² = 813

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 814

Antwoord

n = 814

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,02169

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (93,94 − 100)/3 = −2,02

Staartoppervlakte

Φ(2,02) = 0,9783

1 − Φ(2,02) = 0,0217

p-waarde

p = 0,02169

Antwoord

p = 0,02169

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 10,13 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 100 − 2,326·2,5 = 94,19

z onder het ware gemiddelde

z = (94,19 − 91)/2,5 = 1,274

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z < 1.274) = 89.87%

β = 100% − 89,87% = 10,13%

Antwoord

β = 10,13%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9017

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 332/6 = 55,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 513,3

Determinatiecoëfficiënt

r² = 180²/(70·513,3) = 0,9017

Antwoord

r² = 0,9017

Ongeveer 90,17% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −2,35

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 90/5 = 18

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Regressielijn

b = 106/40 = 2,65

a = 18 − 2,65·6 = 2,1

ŷ = 2,1 + 2,65·x

Voorspelde waarde

ŷ = 2,1 + 2,65·5 = 15,35

Residu

e = 13 − 15,35 = −2,35

Antwoord

e = −2,35

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1