Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 37, 31, 54, 47, 55, 20, 13.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt boven 166?

μ = 170σ = 8x = 166

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 4

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,3. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,3

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9399 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9399

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 40% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten40%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 70,5 en standaardafwijking s = 8. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 7x̄ = 70,5s = 890%t(6) = 1,943

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 18. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 18E = 0,599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

11 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −7,24 en de standaardafwijking van de verschillen is 9,6. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = −7,24s_d = 9,6

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 49. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 49σ = 8n = 8199%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 126Σy = 371Σx² = 2716Σy² = 23715Σxy = 8016

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,4

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 257/7 = 36,71

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 0,2857² + (−5,714)² + 17,29² + 10,29² + 18,29² + (−16,71)² + (−23,71)² = 1613

Standaardafwijking

s = √(1613/6) = 16,4

Antwoord

s = 16,4

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,6915

Standaardiseren

z = −0,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Antwoord

P = 0,6915

3.Kansrekening

Antwoord: N = 70

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Antwoord

N = 70

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,196

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,7⁹ = 0,04035

P(X = 1) = 9·0,3·0,7⁸ = 0,1556

Tel ze op

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Antwoord

P = 0,196

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,88

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,9399)/2 = 0,9699

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9699 in de tabel en lees z af.

z = 1,88

Antwoord

z = 1,88

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 103,8 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,6

z uit de tabel

z ≈ 0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 punten

Antwoord

x = 103,8 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 76,38

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Foutmarge

E = 1,943·8/√7 = 5,875

Interval

70,5 ± 5,875 → [64,62, 76,38]

Antwoord

bovengrens = 76,38

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 8600

n oplossen

n = (2,576·18/0,5)² = 8600

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 8600

Antwoord

n = 8600

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,501

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 9,6/√11 = 2,895

Toetsingsgrootheid

t = −7,24/2,895 = −2,501

Antwoord

t = −2,501

Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 51,29

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·8/√81 = 2,29

Intervalgrens

U = 49 + 2,29 = 51,29

Antwoord

U = 51,29

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9661

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 8016 − 126·371/6 = 225

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 23715 − 371²/6 = 774,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 225/√(70·774,8) = 0,9661

Antwoord

r = 0,9661

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 24,3

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Regressielijn

b = −26/10 = −2,6

a = 20,4 − (−2,6)·3 = 28,2

ŷ = 28,2 − 2,6·x

Voorspelling

ŷ = 28,2 + (−2,6)·1,5 = 24,3

Antwoord

ŷ = 24,3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1