Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 58, 34, 31, 20, 59.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 85?

μ = 70σ = 12x = 85

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,2, 0,1

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 10 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,3. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 10p = 0,3

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9643 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9643

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 30% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten30%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 11 items heeft gemiddelde 90,5 en standaardafwijking s = 17. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 11x̄ = 90,5s = 1799%t(10) = 3,169

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 6 proefvelden, gemiddelde opbrengst 75 kg, standaardafwijking 1 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 79 kg, standaardafwijking 2,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 75s₁ = 1n₂ = 6x̄₂ = 79s₂ = 2,595%t(10) = 2,228

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 15 studenten, gemiddelde score 106, standaardafwijking 7,5. Groep 2: 16 studenten, gemiddelde score 97,4, standaardafwijking 8. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 15x̄₁ = 106s₁ = 7,5n₂ = 16x̄₂ = 97,4s₂ = 8

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 51,4. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 51,4σ = 12n = 4995%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 42Σy = 164Σx² = 364Σy² = 5332Σxy = 1390

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (8, 90) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(8, 90)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,33

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 202/5 = 40,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 17,6² + (−6,4)² + (−9,4)² + (−20,4)² + 18,6² = 1201

Standaardafwijking

s = √(1201/4) = 17,33

Antwoord

s = 17,33

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8944

Standaardiseren

z = 1,25

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Antwoord

P = 0,8944

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,66

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,35 + 4·0,2 + 5·0,1 = 2,8

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,35 + 16·0,2 + 25·0,1 = 9,5

Variantie

Var(X) = 9,5 − 2,8² = 1,66

Antwoord

Var(X) = 1,66

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1493

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,7¹⁰ = 0,02825

P(X = 1) = 10·0,3·0,7⁹ = 0,1211

Tel ze op

P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493

Antwoord

P = 0,1493

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 2,1

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,9643)/2 = 0,9821

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9821 in de tabel en lees z af.

z = 2,10

Antwoord

z = 2,10

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 92,2 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,3

z uit de tabel

z ≈ −0,52

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 punten

Antwoord

x = 92,2 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 106,7

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Foutmarge

E = 3,169·17/√11 = 16,24

Interval

90,5 ± 16,24 → [74,26, 106,7]

Antwoord

bovengrens = 106,7

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −6,449 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (5·1² + 5·2,5²)/10 = 3,625

s_p = 1,904

Foutmarge

E = 2,228·1,904·√(1/6 + 1/6) = 2,449

Interval

−4 ± 2,449 → [−6,449, −1,551]

Antwoord

ondergrens = −6,449 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 3,083

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (14·7,5² + 15·8²)/29 = 60,26

s_p = 7,763

Standaardfout

SE = 7,763·√(1/15 + 1/16) = 2,79

Toetsingsgrootheid

t = (106 − 97,4)/2,79 = 3,083

Antwoord

t = 3,083

Bij df = 29 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,045; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 48,04

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,96·12/√49 = 3,36

Intervalgrens

L = 51,4 − 3,36 = 48,04

Antwoord

L = 48,04

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9925

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1390 − 42·164/6 = 242

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 5332 − 164²/6 = 849,3

Correlatiecoëfficiënt

r = 242/√(70·849,3) = 0,9925

Antwoord

r = 0,9925

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,295

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 458/6 = 76,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 398

Regressielijn

b = 398/70 = 5,686

a = 76,33 − 5,686·6 = 42,22

ŷ = 42,22 + 5,686·x

Voorspelde waarde

ŷ = 42,22 + 5,686·8 = 87,7

Residu

e = 90 − 87,7 = 2,295

Antwoord

e = 2,295

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1