Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 54, 10, 15, 10, 15, 50.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 100. Bereken de z-score z van een score van 540.

μ = 500σ = 100x = 540

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X + 20. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,25, 0,05, 0,2, 0,35Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 742,1 g. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 742,1 g

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 30% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 69,5 en standaardafwijking s = 12,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 7x̄ = 69,5s = 12,599%t(6) = 3,707

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 24. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?

σ = 24E = 499%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

10 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 13,44 en de standaardafwijking van de verschillen is 10,9. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 13,44s_d = 10,9

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 4. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 4E = 395%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 61?

n = 5ŷ = 61

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 19,43

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 193/7 = 27,57

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 11,43² + 26,43² + (−17,57)² + (−12,57)² + (−17,57)² + (−12,57)² + 22,43² = 2266

Standaardafwijking

s = √(2266/6) = 19,43

Antwoord

s = 19,43

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,4

Standaardiseren

z = (540 − 500)/100 = 0,4

Antwoord

z = 0,4

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 132,8

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,25 + 20·0,15 + 30·0,3 + 40·0,3 = 26,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,15 + 900·0,3 + 1600·0,3 = 835

Variantie

Var(X) = 835 − 26,5² = 132,8

Antwoord

Var(X) = 132,8

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 15,26

Spreiding van X

μ = 3,35, Var(X) = 2,328, σ_X = 1,526

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·1,526 = 15,26

Antwoord

σ_Y = 15,26

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·3,35 + 20 = 53,5.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7881

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaardiseren

z = (742,1 − 750)/9,849 = −0,8

Rechterstaart

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 181,6 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,7

z uit de tabel

z ≈ 0,52

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Antwoord

x = 181,6 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 17,51

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Foutmarge

E = 3,707·12,5/√7 = 17,51

Antwoord

E = 17,51

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 239

n oplossen

n = (2,576·24/4)² = 238,9

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 239

Antwoord

n = 239

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 3,899

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 10,9/√10 = 3,447

Toetsingsgrootheid

t = 13,44/3,447 = 3,899

Antwoord

t = 3,899

Bij df = 9 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,262; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,96·4/3)² = 6,83

Naar boven afronden

n = 7

Antwoord

n = 7

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9867

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 593/5 = 118,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 495

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2759

Determinatiecoëfficiënt

r² = 495²/(90·2759) = 0,9867

Antwoord

r² = 0,9867

Ongeveer 98,67% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,553

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 292/5 = 58,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

Regressielijn

b = 47/10 = 4,7

a = 58,4 − 4,7·4 = 39,6

ŷ = 39,6 + 4,7·x

Los op naar x

x = (61 − 39,6)/4,7 = 4,553

Antwoord

x = 4,553

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1