Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 28, 37, 17, 45, 10, 25, 50.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 44?

μ = 60σ = 20x = 44

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 3 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 3

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,2. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,2

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 101,8 s. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 101,8 s

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 104 en standaardafwijking s = 15. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 104s = 1590%t(8) = 1,86

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 25. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 25E = 0,599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 8 studenten, gemiddelde score 64,5, standaardafwijking 6,5. Groep 2: 6 studenten, gemiddelde score 67, standaardafwijking 2,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 8x̄₁ = 64,5s₁ = 6,5n₂ = 6x̄₂ = 67s₂ = 2,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 4 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 28. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 4σ = 28z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 15Σy = 102Σx² = 55Σy² = 2132Σxy = 284

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,56

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 212/7 = 30,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−2,286)² + 6,714² + (−13,29)² + 14,71² + (−20,29)² + (−5,286)² + 19,71² = 1271

Standaardafwijking

s = √(1271/6) = 14,56

Antwoord

s = 14,56

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2119

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,4213

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Antwoord

P = 0,4213

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,4362

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Tel ze op

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Antwoord

P = 0,4362

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6915

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaardiseren

z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5

Rechterstaart

P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915

Antwoord

P = 0,6915

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8413

Verdeling van het verschil

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaardiseren

z = (0 − 10)/10 = −1

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 9,3

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Foutmarge

E = 1,86·15/√9 = 9,3

Antwoord

E = 9,3

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 16590

n oplossen

n = (2,576·25/0,5)² = 16589

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 16590

Antwoord

n = 16590

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −0,8868

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (7·6,5² + 5·2,5²)/12 = 27,25

s_p = 5,22

Standaardfout

SE = 5,22·√(1/8 + 1/6) = 2,819

Toetsingsgrootheid

t = (64,5 − 67)/2,819 = −0,8868

Antwoord

t = −0,8868

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 304

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·28/4)² = 303,1

Naar boven afronden

n = 304

Antwoord

n = 304

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9723

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 284 − 15·102/5 = −22

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2132 − 102²/5 = 51,2

Correlatiecoëfficiënt

r = −22/√(10·51,2) = −0,9723

Antwoord

r = −0,9723

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 32,9

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 242/6 = 40,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

Regressielijn

b = 65/17,5 = 3,714

a = 40,33 − 3,714·3,5 = 27,33

ŷ = 27,33 + 3,714·x

Voorspelling

ŷ = 27,33 + 3,714·1,5 = 32,9

Antwoord

ŷ = 32,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1