Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 20, 33, 10, 47, 18, 46.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 92,5?

μ = 70σ = 15x = 92,5

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 15? De volgorde doet er niet toe.

n = 15k = 3

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 12p = 0,1k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 35,1 min. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,1 min

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 25% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 58,5 en standaardafwijking s = 3,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 58,5s = 3,590%t(8) = 1,86

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 33. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?

σ = 33E = 1,590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

8 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 0,64 en de standaardafwijking van de verschillen is 1,8. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 0,64s_d = 1,8

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 4 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 28. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 95%δ = 4σ = 28z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 72?

n = 6ŷ = 72

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,44

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 174/6 = 29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−9)² + 4² + (−19)² + 18² + (−11)² + 17² = 1192

Standaardafwijking

s = √(1192/5) = 15,44

Antwoord

s = 15,44

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,06681

Standaardiseren

z = 1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

3.Kansrekening

Antwoord: N = 455

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Antwoord

N = 455

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3766

Binomiale formule

P(X = 1) = 12·0,1¹·0,9¹¹ = 12·0,1·0,3138 = 0,3766

Antwoord

P = 0,3766

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,1075

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaardiseren

z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24

Rechterstaart

P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075

Antwoord

P = 0,1075

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 253,4 g

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,75

z uit de tabel

z ≈ 0,67

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Antwoord

x = 253,4 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 56,33

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Foutmarge

E = 1,86·3,5/√9 = 2,17

Interval

58,5 ± 2,17 → [56,33, 60,67]

Antwoord

ondergrens = 56,33

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1310

n oplossen

n = (1,645·33/1,5)² = 1310

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1310

Antwoord

n = 1310

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,006

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 1,8/√8 = 0,6364

Toetsingsgrootheid

t = 0,64/0,6364 = 1,006

Antwoord

t = 1,006

Bij df = 7 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,365; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 531

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 1,645)·28/4)² = 530,4

Naar boven afronden

n = 531

Antwoord

n = 531

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,7814

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 328/6 = 54,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 157,3

Correlatiecoëfficiënt

r = 41/√(17,5·157,3) = 0,7814

Antwoord

r = 0,7814

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 8,964

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 383/6 = 63,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 291

Regressielijn

b = 291/70 = 4,157

a = 63,83 − 4,157·7 = 34,73

ŷ = 34,73 + 4,157·x

Los op naar x

x = (72 − 34,73)/4,157 = 8,964

Antwoord

x = 8,964

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1