Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 44, 43, 50, 43, 23, 49, 24.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 100.

μ = 70σ = 20x = 100

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 6 rode en 3 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

6 / 3

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €1 inzet. Je wint €4 met kans 0,2 en €10 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €1€4: p = 0,2€10: p = 0,05

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 33,3 min. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 33,3 min

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De rondetijd X van loper A en de rondetijd Y van loper B zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 52 s en standaardafwijking 4 s, Y heeft gemiddelde 48 s en standaardafwijking 3 s. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 86 h, bekende standaardafwijking 15 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 81 h, bekende standaardafwijking 13 h. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 86 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 81 hσ₂ = 13 h95%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 10 proefvelden, gemiddelde opbrengst 31 kg, standaardafwijking 9 kg. Groep 2: 21 proefvelden, gemiddelde 26,5 kg, standaardafwijking 2,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 31s₁ = 9n₂ = 21x̄₂ = 26,5s₂ = 2,595%t(29) = 2,045

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

13 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 1,21 en de standaardafwijking van de verschillen is 2,3. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 1,21s_d = 2,3

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 198,4. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 198,4σ = 12n = 10095%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 15?

n = 6ŷ = 15

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 11,24

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 276/7 = 39,43

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 4,571² + 3,571² + 10,57² + 3,571² + (−16,43)² + 9,571² + (−15,43)² = 757,7

Standaardafwijking

s = √(757,7/6) = 11,24

Antwoord

s = 11,24

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,5

Standaardiseren

z = (100 − 70)/20 = 1,5

Antwoord

z = 1,5

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,4167

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Antwoord

P = 0,4167

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 0,3 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 3 (p = 0,2), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

Verwachtingswaarde

E(G) = 3·0,2 + 9·0,05 − 1·0,75 = 0,3 €

Antwoord

E(G) = 0,3 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3015

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaardiseren

z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52

Rechterstaart

P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015

Antwoord

P = 0,3015

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7881

Verdeling van het verschil

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaardiseren

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 5,2 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 86 − 81 = 5

Standaardfout

SE = √(15²/80 + 13²/40) = 2,653

Foutmarge

E = 1,96·2,653 = 5,2

Antwoord

E = 5,2 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 0,2362 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (9·9² + 20·2,5²)/29 = 29,45

s_p = 5,427

Foutmarge

E = 2,045·5,427·√(1/10 + 1/21) = 4,264

Interval

4,5 ± 4,264 → [0,2362, 8,764]

Antwoord

ondergrens = 0,2362 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,897

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 2,3/√13 = 0,6379

Toetsingsgrootheid

t = 1,21/0,6379 = 1,897

Antwoord

t = 1,897

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 196

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,96·12/√100 = 2,352

Intervalgrens

L = 198,4 − 2,352 = 196

Antwoord

L = 196

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9933

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 473/6 = 78,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 361

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1887

Correlatiecoëfficiënt

r = 361/√(70·1887) = 0,9933

Antwoord

r = 0,9933

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,007

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 98/6 = 16,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

Regressielijn

b = −46/17,5 = −2,629

a = 16,33 − (−2,629)·3,5 = 25,53

ŷ = 25,53 − 2,629·x

Los op naar x

x = (15 − 25,53)/(−2,629) = 4,007

Antwoord

x = 4,007

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1