Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 29, 18, 31, 52, 60, 12.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 82.

μ = 100σ = 12x = 82

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,25, 0,05, 0,2

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 0,5X + 1. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,1, 0,35, 0,2Y = 0,5X + 1

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van zakken cement zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 kg en standaardafwijking 0,5 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 16 ervan kleiner is dan 398 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16< 398 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 10% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten10%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 11,8. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval uit dezelfde data?

99%n₁ = 100E₁ = 11,890%

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 39,5 kg, standaardafwijking 2 kg. Groep 2: 12 proefvelden, gemiddelde 32,5 kg, standaardafwijking 8 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 39,5s₁ = 2n₂ = 12x̄₂ = 32,5s₂ = 895%t(15) = 2,131

E = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

20 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 5,8 en de standaardafwijking van de verschillen is 8,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = 5,8s_d = 8,1

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 36 metingen heeft gemiddelde 51,4. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 51,4σ = 4n = 3699%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 69?

n = 5ŷ = 69

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,83

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 202/6 = 33,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−4,667)² + (−15,67)² + (−2,667)² + 18,33² + 26,33² + (−21,67)² = 1773

Standaardafwijking

s = √(1773/5) = 18,83

Antwoord

s = 18,83

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1,5

Standaardiseren

z = (82 − 100)/12 = −1,5

Antwoord

z = −1,5

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,497

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,05 + 4·0,2 = 1,6

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,05 + 16·0,2 = 4,8

Variantie

Var(X) = 4,8 − 1,6² = 2,24

σ = √2,24 = 1,497

Antwoord

σ = 1,497

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 0,6538

Spreiding van X

μ = 2,3, Var(X) = 1,71, σ_X = 1,308

Lineaire transformatie

σ_Y = |0,5|·1,308 = 0,6538

Antwoord

σ_Y = 0,6538

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 0,5·2,3 + 1 = 2,15.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,1587

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Standaardiseren

z = (398 − 400)/2 = −1

Kansrekening

P = Φ(−1) = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 52,2 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,1

z uit de tabel

z ≈ −1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 punten

Antwoord

x = 52,2 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 7,535

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/100) = 0,6386

Nieuwe marge

E₂ = 11,8·0,6386 = 7,535

Antwoord

E₂ = 7,535

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 7,859 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (4·2² + 11·8²)/15 = 48

s_p = 6,928

Foutmarge

E = 2,131·6,928·√(1/5 + 1/12) = 7,859

Antwoord

E = 7,859 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 3,202

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 8,1/√20 = 1,811

Toetsingsgrootheid

t = 5,8/1,811 = 3,202

Antwoord

t = 3,202

Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 49,68

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·4/√36 = 1,717

Intervalgrens

L = 51,4 − 1,717 = 49,68

Antwoord

L = 49,68

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9649

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 345/6 = 57,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 169,5

Determinatiecoëfficiënt

r² = 53,5²/(17,5·169,5) = 0,9649

Antwoord

r² = 0,9649

Ongeveer 96,49% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,577

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 356/5 = 71,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

Regressielijn

b = 52/10 = 5,2

a = 71,2 − 5,2·5 = 45,2

ŷ = 45,2 + 5,2·x

Los op naar x

x = (69 − 45,2)/5,2 = 4,577

Antwoord

x = 4,577

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1