Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 41, 19, 26, 30, 21, 24.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 68.

μ = 50σ = 12x = 68

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 3 rode en 6 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

3 / 6

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?

n = 9p = 0,3k = 3

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0150 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0150

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 85% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 76,5 en standaardafwijking s = 14. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 13x̄ = 76,5s = 1490%t(12) = 1,782

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 22. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?

σ = 22E = 590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 121,2 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,2s = 10n = 36

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 48,4. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 48,4σ = 12n = 6490%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 87?

n = 5ŷ = 87

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 7,935

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 161/6 = 26,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 14,17² + (−7,833)² + (−0,8333)² + 3,167² + (−5,833)² + (−2,833)² = 314,8

Standaardafwijking

s = √(314,8/5) = 7,935

Antwoord

s = 7,935

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,5

Standaardiseren

z = (68 − 50)/12 = 1,5

Antwoord

z = 1,5

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,08333

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333

Antwoord

P = 0,08333

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2668

Binomiale formule

P(X = 3) = 84·0,3³·0,7⁶ = 84·0,027·0,1176 = 0,2668

Antwoord

P = 0,2668

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 2,17

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0150 = 0,9850

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9850 in de tabel en lees z af.

z = 2,17

Antwoord

z = 2,17

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 170,7 cm

Oppervlak links

Φ(z) = 0,15

z uit de tabel

z ≈ −1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm

Antwoord

x = 170,7 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 83,42

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Foutmarge

E = 1,782·14/√13 = 6,919

Interval

76,5 ± 6,919 → [69,58, 83,42]

Antwoord

bovengrens = 83,42

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 53

n oplossen

n = (1,645·22/5)² = 52,39

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 53

Antwoord

n = 53

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,72

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Toetsingsgrootheid

t = (121,2 − 120)/1,667 = 0,72

Antwoord

t = 0,72

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 50,87

Foutmarge

E = 1,645·12/√64 = 2,468

Intervalgrens

U = 48,4 + 2,468 = 50,87

Antwoord

U = 50,87

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,997

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 112/6 = 18,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 455,3

Correlatiecoëfficiënt

r = 178/√(70·455,3) = 0,997

Antwoord

r = 0,997

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 6,021

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 398/5 = 79,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290

Regressielijn

b = 290/40 = 7,25

a = 79,6 − 7,25·5 = 43,35

ŷ = 43,35 + 7,25·x

Los op naar x

x = (87 − 43,35)/7,25 = 6,021

Antwoord

x = 6,021

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1