Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 25, 34, 20, 49, 55, 27, 29.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 100. Bereken de z-score z van een score van 540.

μ = 500σ = 100x = 540

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 14? De volgorde doet er niet toe.

n = 14k = 2

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 10p = 0,7k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0119 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0119

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 95% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 12 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 9,7 en standaardafwijking 3,8. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 12d̄ = 9,7s_d = 3,899%t(11) = 3,106

bovengrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 23 kg, standaardafwijking 1,5 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 34,5 kg, standaardafwijking 7 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 23s₁ = 1,5n₂ = 5x̄₂ = 34,5s₂ = 795%t(14) = 2,145

E = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 51,8 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,8s = 12n = 64

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 20E = 199%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,02

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 239/7 = 34,14

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−9,143)² + (−0,1429)² + (−14,14)² + 14,86² + 20,86² + (−7,143)² + (−5,143)² = 1017

Standaardafwijking

s = √(1017/6) = 13,02

Antwoord

s = 13,02

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,4

Standaardiseren

z = (540 − 500)/100 = 0,4

Antwoord

z = 0,4

3.Kansrekening

Antwoord: N = 91

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91

Antwoord

N = 91

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,0001378

Binomiale formule

P(X = 1) = 10·0,7¹·0,3⁹ = 10·0,7·1,968 × 10⁻⁵ = 0,0001378

Antwoord

P = 0,0001378

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 2,26

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0119 = 0,9881

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9881 in de tabel en lees z af.

z = 2,26

Antwoord

z = 2,26

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 258,2 g

Oppervlak links

Φ(z) = 0,95

z uit de tabel

z ≈ 1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g

Antwoord

x = 258,2 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 13,11 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 11, t = 3,106

Foutmarge

E = 3,106·3,8/√12 = 3,407

Interval

9,7 ± 3,407 → [6,293, 13,11]

Antwoord

bovengrens = 13,11 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 4,571 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (10·1,5² + 4·7²)/14 = 15,61

s_p = 3,951

Foutmarge

E = 2,145·3,951·√(1/11 + 1/5) = 4,571

Antwoord

E = 4,571 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,2

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Toetsingsgrootheid

t = (51,8 − 50)/1,5 = 1,2

Antwoord

t = 1,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 2655

n oplossen

n = (2,576·20/1)² = 2654

Naar boven afronden

n = 2655

Antwoord

n = 2655

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9965

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 309/5 = 61,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 342

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1309

Correlatiecoëfficiënt

r = 342/√(90·1309) = 0,9965

Antwoord

r = 0,9965

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 55,1

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 286/5 = 57,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

Regressielijn

b = 42/10 = 4,2

a = 57,2 − 4,2·3 = 44,6

ŷ = 44,6 + 4,2·x

Voorspelling

ŷ = 44,6 + 4,2·2,5 = 55,1

Antwoord

ŷ = 55,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1