Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 59, 20, 11, 52, 12.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 86?

μ = 70σ = 8x = 86

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,35, 0,15, 0,1

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 4. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35Y = 3X + 4

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van dozen zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 12 kg en standaardafwijking 0,8 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 6 ervan groter is dan 73 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6> 73 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 95% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 37 en standaardafwijking s = 19,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 13x̄ = 37s = 19,590%t(12) = 1,782

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,04 heeft?

p = 0,5E = 0,0499%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

12 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 5,44 en de standaardafwijking van de verschillen is 6,5. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 5,44s_d = 6,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 4. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 4E = 190%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4,5, 52) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 52)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 22,95

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 154/5 = 30,8

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 28,2² + (−10,8)² + (−19,8)² + 21,2² + (−18,8)² = 2107

Standaardafwijking

s = √(2107/4) = 22,95

Antwoord

s = 22,95

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9772

Standaardiseren

z = 2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Antwoord

P = 0,9772

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,044

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,1 = 1,9

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,1 = 4,7

Variantie

Var(X) = 4,7 − 1,9² = 1,09

σ = √1,09 = 1,044

Antwoord

σ = 1,044

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 3,735

Spreiding van X

μ = 1,5, Var(X) = 1,55, σ_X = 1,245

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·1,245 = 3,735

Antwoord

σ_Y = 3,735

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·1,5 + 4 = 8,5.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,305

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Standaardiseren

z = (73 − 72)/1,96 = 0,51

Kansrekening

P = 1 − Φ(0,51) = 0,305

Antwoord

P = 0,305

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 241,8 g

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,05

z uit de tabel

z ≈ −1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g

Antwoord

x = 241,8 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 46,64

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Foutmarge

E = 1,782·19,5/√13 = 9,638

Interval

37 ± 9,638 → [27,36, 46,64]

Antwoord

bovengrens = 46,64

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

Naar boven afronden

n = 1037

Antwoord

n = 1037

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,899

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 6,5/√12 = 1,876

Toetsingsgrootheid

t = 5,44/1,876 = 2,899

Antwoord

t = 2,899

Bij df = 11 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,201; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 44

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Naar boven afronden

n = 44

Antwoord

n = 44

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9981

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 412/6 = 68,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1189

Correlatiecoëfficiënt

r = 288/√(70·1189) = 0,9981

Antwoord

r = 0,9981

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,5

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 297/6 = 49,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85,5

Regressielijn

b = 85,5/17,5 = 4,886

a = 49,5 − 4,886·4,5 = 27,51

ŷ = 27,51 + 4,886·x

Voorspelde waarde

ŷ = 27,51 + 4,886·4,5 = 49,5

Residu

e = 52 − 49,5 = 2,5

Antwoord

e = 2,5

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1