Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 17, 36, 28, 15, 24, 23.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 60.

μ = 100σ = 20x = 60

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 6 rode en 7 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

6 / 7

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 11p = 0,1k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 113 s. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 113 s

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).

μ = 250σ = 5P = 97,5%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 15 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −9,5 en standaardafwijking 7,9. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 15d̄ = −9,5s_d = 7,999%t(14) = 2,977

bovengrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 12. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 12E = 395%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

16 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 2,01 en de standaardafwijking van de verschillen is 6,7. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 2,01s_d = 6,7

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ > 80 wordt uitgevoerd bij α = 0,10 met een steekproef van 25; de standaardafwijking is bekend en is 7,5. In werkelijkheid is het gemiddelde 82,55. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 80μ = 82,55σ = 7,5n = 25α = 0,10

β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 15Σy = 348Σx² = 55Σy² = 24806Σxy = 1120

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (6,5, 70) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(6,5, 70)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,018

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 182/7 = 26

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 13² + (−9)² + 10² + 2² + (−11)² + (−2)² + (−3)² = 488

Standaardafwijking

s = √(488/6) = 9,018

Antwoord

s = 9,018

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −2

Standaardiseren

z = (60 − 100)/20 = −2

Antwoord

z = −2

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1923

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Antwoord

P = 0,1923

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3835

Binomiale formule

P(X = 1) = 11·0,1¹·0,9¹⁰ = 11·0,1·0,3487 = 0,3835

Antwoord

P = 0,3835

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,1056

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaardiseren

z = (113 − 105)/6,403 = 1,25

Rechterstaart

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Antwoord

P = 0,1056

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 259,8 g

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Terug naar x

x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g

Antwoord

x = 259,8 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = −3,428 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 14, t = 2,977

Foutmarge

E = 2,977·7,9/√15 = 6,072

Interval

−9,5 ± 6,072 → [−15,57, −3,428]

Antwoord

bovengrens = −3,428 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 62

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·12/3)² = 61,47

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 62

Antwoord

n = 62

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 6,7/√16 = 1,675

Toetsingsgrootheid

t = 2,01/1,675 = 1,2

Antwoord

t = 1,2

Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 33,8 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 80 + 1,282·1,5 = 81,92

z onder het ware gemiddelde

z = (81,92 − 82,55)/1,5 = −0,418

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z > −0,418) = 66,2%

β = 100% − 66,2% = 33,8%

Antwoord

β = 33,8%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9935

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1120 − 15·348/5 = 76

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 24806 − 348²/5 = 585,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 76/√(10·585,2) = 0,9935

Antwoord

r = 0,9935

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 5,45

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 298/5 = 59,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33

Regressielijn

b = 33/10 = 3,3

a = 59,6 − 3,3·5 = 43,1

ŷ = 43,1 + 3,3·x

Voorspelde waarde

ŷ = 43,1 + 3,3·6,5 = 64,55

Residu

e = 70 − 64,55 = 5,45

Antwoord

e = 5,45

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1