Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 17, 17, 35, 18, 54, 18, 17.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 88?

μ = 100σ = 10x = 88

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 9? De volgorde doet er niet toe.

n = 9k = 3

N =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3Y = 2X − 3

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 57,5 en 83,5 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x₁ = 57,5x₂ = 83,5

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 106,5 h, bekende standaardafwijking 20 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 109 h, bekende standaardafwijking 6 h. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 106,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 30x̄₂ = 109 hσ₂ = 6 h95%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,3 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,03 heeft?

p ≈ 0,3E = 0,0390%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 100 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 126,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 7 mm. Lijn 2: een steekproef van 30 onderdelen heeft gemiddelde 122,2 mm, bekende standaardafwijking 11 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 100x̄₁ = 126,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 30x̄₂ = 122,2 mmσ₂ = 11 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 60 van de 200 patiënten met behandeling A en 39 van de 150 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 39n₂ = 150

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 10.

n = 5x = 10

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,32

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 176/7 = 25,14

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−8,143)² + (−8,143)² + 9,857² + (−7,143)² + 28,86² + (−7,143)² + (−8,143)² = 1231

Standaardafwijking

s = √(1231/6) = 14,32

Antwoord

s = 14,32

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1151

Standaardiseren

z = −1,2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Antwoord

P = 0,1151

3.Kansrekening

Antwoord: N = 84

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

Antwoord

N = 84

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 2,49

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 2,5, Var(X) = 1,55, σ_X = 1,245

Lineaire transformatie

σ_Y = |2|·1,245 = 2,49

Antwoord

σ_Y = 2,49

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 2·2,5 − 3 = 2.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7412

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75

z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,85) − Φ(−0,75) = 0,9678 − 0,2266 = 0,7412

Antwoord

P = 0,7412

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 43,76 min

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Terug naar x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Antwoord

x = 43,76 min

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 4,88 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 106,5 − 109 = −2,5

Standaardfout

SE = √(20²/80 + 6²/30) = 2,49

Foutmarge

E = 1,96·2,49 = 4,88

Antwoord

E = 4,88 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 632

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,3·0,7/0,03² = 631,4

Naar boven afronden

n = 632

Antwoord

n = 632

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 2,022

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(7²/100 + 11²/30) = √4,523 = 2,127

Toetsingsgrootheid

z = (126,5 − 122,2)/2,127 = 2,022

Antwoord

z = 2,022

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,8222

Steekproeffracties

p̂₁ = 60/200 = 0,3

p̂₂ = 39/150 = 0,26

p̂ = 99/350 = 0,2829

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,2829·0,7171·(1/200 + 1/150)) = 0,04865

Toetsingsgrootheid

z = (0,3 − 0,26)/0,04865 = 0,8222

Antwoord

z = 0,8222

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9831

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 96/6 = 16

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 372

Determinatiecoëfficiënt

r² = 160²/(70·372) = 0,9831

Antwoord

r² = 0,9831

Ongeveer 98,31% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 75,7

Gemiddelden

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 323/5 = 64,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

Regressielijn

b = 148/40 = 3,7

a = 64,6 − 3,7·7 = 38,7

ŷ = 38,7 + 3,7·x

Voorspelling

ŷ = 38,7 + 3,7·10 = 75,7

Antwoord

ŷ = 75,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1