Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 49, 11, 22, 37, 16, 52, 41.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Bereken de z-score z van een score van 537,5.

μ = 500σ = 25x = 537,5

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,4. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?

n = 11p = 0,4k = 5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 60,5 en 67 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x₁ = 60,5x₂ = 67

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 10% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten10%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 64 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 1,7. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval gebaseerd op 128 waarnemingen?

95%n₁ = 64E₁ = 1,790%n₂ = 128

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 11. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 11E = 0,590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

11 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −4,75 en de standaardafwijking van de verschillen is 4,5. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = −4,75s_d = 4,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 75 van de 300 patiënten met behandeling A en 102 van de 300 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 102n₂ = 300

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (15,5, 45) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(15,5, 45)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,28

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 228/7 = 32,57

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 16,43² + (−21,57)² + (−10,57)² + 4,429² + (−16,57)² + 19,43² + 8,429² = 1590

Standaardafwijking

s = √(1590/6) = 16,28

Antwoord

s = 16,28

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,5

Standaardiseren

z = (537,5 − 500)/25 = 1,5

Antwoord

z = 1,5

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 0,922

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,35 + 16·0,15 = 7,1

Variantie

Var(X) = 7,1 − 2,5² = 0,85

σ = √0,85 = 0,922

Antwoord

σ = 0,922

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2207

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 5) = 462·0,4⁵·0,6⁶ = 462·0,01024·0,04666 = 0,2207

Antwoord

P = 0,2207

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2529

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (60,5 − 65)/10 = −0,45

z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,2) − Φ(−0,45) = 0,5793 − 0,3264 = 0,2529

Antwoord

P = 0,2529

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 80,8 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,1

z uit de tabel

z ≈ −1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 − 1,28·15 = 80,8 punten

Antwoord

x = 80,8 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 1,009

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(64/128) = 0,5935

Nieuwe marge

E₂ = 1,7·0,5935 = 1,009

Antwoord

E₂ = 1,009

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1310

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,645·11/0,5)² = 1310

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1310

Antwoord

n = 1310

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,501

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 4,5/√11 = 1,357

Toetsingsgrootheid

t = −4,75/1,357 = −3,501

Antwoord

t = −3,501

Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,417

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 75/300 = 0,25

p̂₂ = 102/300 = 0,34

p̂ = 177/600 = 0,295

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,295·0,705·(1/300 + 1/300)) = 0,03724

Toetsingsgrootheid

z = (0,25 − 0,34)/0,03724 = −2,417

Antwoord

z = −2,417

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,887

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 151/5 = 30,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 162,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 38²/(10·162,8) = 0,887

Antwoord

r² = 0,887

Ongeveer 88,7% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 5,25

Gemiddelden

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 264/5 = 52,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261

Regressielijn

b = 261/90 = 2,9

a = 52,8 − 2,9·20 = −5,2

ŷ = −5,2 + 2,9·x

Voorspelde waarde

ŷ = −5,2 + 2,9·15,5 = 39,75

Residu

e = 45 − 39,75 = 5,25

Antwoord

e = 5,25

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1