Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 52, 24, 14, 12, 17.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 26?

μ = 50σ = 20x = 26

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 5

N =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 20. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3Y = 3X + 20

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 242,25 en 254 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,25x₂ = 254

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 54 h, bekende standaardafwijking 15 h. Model 2: 60 telefoons, gemiddelde 61,5 h, bekende standaardafwijking 20 h. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 54 hσ₁ = 15 hn₂ = 60x̄₂ = 61,5 hσ₂ = 20 h99%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 11. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?

σ = 11E = 495%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 69 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 18 mm. Lijn 2: een steekproef van 30 onderdelen heeft gemiddelde 77,6 mm, bekende standaardafwijking 8 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 30x̄₁ = 69 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 30x̄₂ = 77,6 mmσ₂ = 8 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 38 van de 150 patiënten met behandeling A en 23 van de 150 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 23n₂ = 150

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 33Σy = 240Σx² = 199Σy² = 9732Σxy = 1362

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 13) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(3, 13)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,11

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 134/6 = 22,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−7,333)² + 29,67² + 1,667² + (−8,333)² + (−10,33)² + (−5,333)² = 1141

Standaardafwijking

s = √(1141/5) = 15,11

Antwoord

s = 15,11

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8849

Standaardiseren

z = −1,2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Antwoord

P = 0,8849

3.Kansrekening

Antwoord: N = 56

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Antwoord

N = 56

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 3,686

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 2,3, Var(X) = 1,51, σ_X = 1,229

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·1,229 = 3,686

Antwoord

σ_Y = 3,686

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·2,3 + 20 = 26,9.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7276

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,8) − Φ(−1,55) = 0,7881 − 0,06057 = 0,7276

Antwoord

P = 0,7276

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7389

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaardiseren

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Antwoord

P = 0,7389

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 8,314 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 54 − 61,5 = −7,5

Standaardfout

SE = √(15²/60 + 20²/60) = 3,227

Foutmarge

E = 2,576·3,227 = 8,314

Antwoord

E = 8,314 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 30

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·11/4)² = 29,05

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 30

Antwoord

n = 30

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,391

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(18²/30 + 8²/30) = √12,93 = 3,596

Toetsingsgrootheid

z = (69 − 77,6)/3,596 = −2,391

Antwoord

z = −2,391

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 2,152

Steekproeffracties

p̂₁ = 38/150 = 0,2533

p̂₂ = 23/150 = 0,1533

p̂ = 61/300 = 0,2033

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,2033·0,7967·(1/150 + 1/150)) = 0,04647

Toetsingsgrootheid

z = (0,2533 − 0,1533)/0,04647 = 2,152

Antwoord

z = 2,152

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,8739

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1362 − 33·240/6 = 42

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 9732 − 240²/6 = 132

Correlatiecoëfficiënt

r = 42/√(17,5·132) = 0,8739

Antwoord

r = 0,8739

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,433

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 109/6 = 18,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133

Regressielijn

b = 133/70 = 1,9

a = 18,17 − 1,9·7 = 4,867

ŷ = 4,867 + 1,9·x

Voorspelde waarde

ŷ = 4,867 + 1,9·3 = 10,57

Residu

e = 13 − 10,57 = 2,433

Antwoord

e = 2,433

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1