Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 17, 59, 16, 52, 45.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 65.

μ = 50σ = 12x = 65

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,05, 0,3, 0,3

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 5 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 5p = 0,5k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 5 ervan kleiner is dan 201,3 g. Rond z af op twee decimalen.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5< 201.3 g

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 16 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 3,6 en standaardafwijking 1,5. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 16d̄ = 3,6s_d = 1,595%t(15) = 2,131

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,03 heeft?

p = 0,5E = 0,0390%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 60 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 135 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 11 mm. Lijn 2: een steekproef van 60 onderdelen heeft gemiddelde 140 mm, bekende standaardafwijking 6 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 60x̄₁ = 135 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 60x̄₂ = 140 mmσ₂ = 6 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 72,4. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 72,4σ = 20n = 10090%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 20,07

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 189/5 = 37,8

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−20,8)² + 21,2² + (−21,8)² + 14,2² + 7,2² = 1611

Standaardafwijking

s = √(1611/4) = 20,07

Antwoord

s = 20,07

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,25

Standaardiseren

z = (65 − 50)/12 = 1,25

Antwoord

z = 1,25

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,244

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,3 = 1,55

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,3 = 3,95

Variantie

Var(X) = 3,95 − 1,55² = 1,548

σ = √1,548 = 1,244

Antwoord

σ = 1,244

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1563

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 1) = 5·0,5¹·0,5⁴ = 5·0,5·0,0625 = 0,1563

Antwoord

P = 0,1563

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6844

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Standaardiseren

z = (201,3 − 200)/2,683 = 0,48

Kansrekening

P = Φ(0,48) = 0,6844

Antwoord

P = 0,6844

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 261,6 g

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Terug naar x

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Antwoord

x = 261,63 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 2,801 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 15, t = 2,131

Foutmarge

E = 2,131·1,5/√16 = 0,7991

Interval

3,6 ± 0,7991 → [2,801, 4,399]

Antwoord

ondergrens = 2,801 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 752

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7

Naar boven afronden

n = 752

Antwoord

n = 752

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −3,091

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(11²/60 + 6²/60) = √2,617 = 1,618

Toetsingsgrootheid

z = (135 − 140)/1,618 = −3,091

Antwoord

z = −3,091

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 69,11

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,645·20/√100 = 3,29

Intervalgrens

L = 72,4 − 3,29 = 69,11

Antwoord

L = 69,11

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9612

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 399/6 = 66,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 281

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1174

Determinatiecoëfficiënt

r² = 281²/(70·1174) = 0,9612

Antwoord

r² = 0,9612

Ongeveer 96,12% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 19,95

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 96/5 = 19,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

Regressielijn

b = −15/10 = −1,5

a = 19,2 − (−1,5)·3 = 23,7

ŷ = 23,7 − 1,5·x

Voorspelling

ŷ = 23,7 + (−1,5)·2,5 = 19,95

Antwoord

ŷ = 19,95

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1